无穷大与无穷小极限性质

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1、第二章第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则问题:根据极限的定义,只能验证某个常数A是否为某个函数ƒ(x)的极限,而不能求出函数ƒ(x)的极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则.当一、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小.时为无穷小.机动目录上页下页返回结束注：无穷小是一个量，和变化过程有关.定理1.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论.常数与无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:利用定理1可知二、无穷大定义2

2、（直观定义）.若当时，

3、f(x)

4、无限增大，则称函数当时为无穷大,记作机动目录上页下页返回结束无穷大又可细分为正无穷大和负无穷大.例如：任给M>0,一切满足不等式的x,总有使对正数X,总存在注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理2.在自变量的同一变化过程中,机动目录上页下页返回结束四、极限的四则运算法则则有定理3

5、.若机动目录上页下页返回结束定理4.若则有推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)定理5.若且B≠0,则有因此有：1、设n次多项式则机动目录上页下页返回结束说明:1、因为数列是一种特殊的函数,因此定理3,4,5对数列也是成立的.2、上述定理可推广到有限个情形.2、设分式函数其中都是多项式,则若x=3时分母为0!例3.机动目录上页下页返回结束例4.求例5.求解:机动目录上页下页返回结束例6.求解:分子分母同除以则原式比如：例7.=0其中为时的无穷小量.定理6.(无穷小与函数极限的关系)对自变量的其它

6、变化过程有同样结论.机动目录上页下页返回结束定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束四、复合函数的极限运算法则例7.求解:令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束例8.求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束例9.试确定常数a使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此内容小结1.极限运算法则(1)无穷小性质(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法1）对型,约去公因子（有理化，因式分解等）(2)复

7、合函数极限求法设中间变量机动目录上页下页返回结束2）对型，分子分母同除以最高次幂3）对，化为型思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束