26章二次函数知识点归纳1

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1、人教版九年级数学下二次函数知识点总结²相关概念及定义Ø二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．Ø二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．²二次函数各种形式之间的变换Ø二次函数用配方法可化成：的形式，其中.Ø二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.²二次函数解析式的表示方法Ø一般式：（，，为常数，）；Ø顶点式：（，，为常数，）；Ø两根式：（，，是

2、抛物线与轴两交点的横坐标）.²二次函数图象的画法Ø五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.Ø几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()5抛物线中，与函数图像的关系决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．越大开口越小在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．（1）a,b同号在左，异号在右（2）当对称轴为x=1时2a+b=0当对称轴为x=-1的时候2a-b=0常

3、数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．注意当x=1的时候y=a+b+c当x=-1的时候y=a-b+c总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．²求抛物线的顶点、对称轴的方法Ø公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.Ø配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.Ø运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称

4、轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用待定系数法求二次函数的解析式Ø一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.Ø顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.Ø交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.²直线与抛物线的交点Ø轴与抛物线得交点为(0,).Ø抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.Ø一次

5、函数的图像与二次函数的图像5的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.Ø抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达Ø关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；Ø关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；Ø关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；Ø关于顶点对称关于顶点对称

6、后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．Ø总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．²二次函数图象的平移Ø平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．²根据条件确定二次函数表达式的几

7、种基本思路。Ø三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。Ø顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。52，已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。Ø交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的

8、解析实际问题与二次函数1、某地要建造一个圆形喷水池，