方程的根竞赛典型题

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1、例：x∈R,求410+x+47-x=3的根.解：（换元法）设u=410+x，v=410+x,则u4+v4=17···记为（1）式，u+v=3·····记为（2）式因为（u2+v2）2-2u2v2=u4+v4=17即（(u+v)2-2uv）2-2u2v2=u4+v4=17····记为（3）式将（2）式代入（3）式中，可得（9-2uv）2-2u2v2=17可解得uv=2或者uv=16（舍去）联立方程uv=2u+v=3.解得u=1且v=2或者u=2且v=1.当u=1且v=2时，u=410+x=1，解得x=-9；当u=2且v=1时，u=410+x=2，解得x=6.关于不定方程的题目：已知a

2、,b,c是整数，且满足a+b=3,c2-2c+ab=-2,求a,b,c的值解：a+b=3ab=-2-c2+2c构造方程x2-3x+(-2-c2+2c)=0其中a,b为方程的两根∆=9-4（-2-c2+2c)=17+4c2-8c=(2c-2)2+13x=3±√∆2∆=k2(2c-2)2+13=k2即k2-(2c-2)2=13所以(k+2c-2)(k-2c+2)=13k+2c-2=13k-2c+2=1或k+2c-2=1k-2c+2=13可得k=7c=4或k=7c=-2x=5或-2所以a,b,c的值为5，-2，4或-2,5,4或5，-2，-2或-2,5，-2例：定义在R的实值函数f(x)

3、满足：12fxy+12fxz-fxfyz≥14,x,y,z∈R，求f(x).解：令x=y=z=0，得12f0+12f0-f(0)2≥14,即f0-122≤0，所以f0=12，同理令x=y=z=1，得12f1+12f1-f(1)2≥14，即f1=12，令y=z=0，得12f0+12f0-fxf(0)≥14,即fx≤12,令y=z=1，得12fx+12fx-fxf(1)≥14,即fx≥12，所以，fx=12，x∈R.例：解方程8+5x7=6x-113解：令6x-113=nn∈Z则x=3n+116则15n+10342=n故n≤15n+10342

4、则x=103例：求1x-1y=14的所有正整数解x,y解：方程两边同乘xy得4y-x=xy即xy-4y+4x=0即x-4y+4=-16由于方程正整数解x∈Z+,y∈Z+且(x-4)与(y+4)异号同偶由于y≥0继而y+4≥4则x-4≤0继而x≤4则x-4=-2y+4=8或x-4=-1y+4=16则x=2y=4或x=3y=12例：如果满足x2-6x-16-10=a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于解：显然a>0，原方程可化为x2-6x-16=10±a若a>10，则原方程等价于x2-6x-16=10+a，可化为x2-6x-16=±10+a，即x2-6x-16±10+a=0，此时原方程

5、只有4个解，不符合题意。若0

6、，因此上述方程的解是唯一的。即。解该一元二次方程得到两根分别为。故原方程的解为。例:解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程x4+2x3-9x2-2x+8=0因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中)根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式x-1,即x4+2x3-9x2-2x+8=x-1x3+3x2-6x-8=0观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式x+1，即x3+3x2-6x-8=x+1x2+2x-8=0对一元二

7、次方程（x2+2x+8）,有x-1x2+2x-8=x-2x+4=0;综上，原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0分解为x-1x+1x-2x+4=0当x-1=0时,有x1=1;当(x+1=0时，有x2=-1;当x-2=0时，有x3=2;当(x+4=0时，有x4=-4例：给定正数p,q,a,b,c,其中，p≠q,若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0＿＿＿（Ａ）无实根（Ｂ)有两个相等实根（Ｃ)有两个同号相异实根　（Ｄ）