数学分析7-习题(I)

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1、关于实数完备性的6个基本定理1.确界原理（定理1.1）；2.单调有界定理（定理2.9）；3.区间套定理（定理7.1）；4.有限覆盖定理（定理7.3）5.聚点定理（定理7.2）6.柯西收敛准则（定理2.10）；在实数系中这六个命题是相互等价的。第七章习题课在有理数系中这六个命题不成立。1.确界原理在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。2.单调有界定理；在实数系中，单调有界数列必有极限。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。3.区间套定理若{[]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点所以区间套定理在有理数系不成立。反例：4.有限覆盖定理在实数系中，闭区间[a,b]的任一开覆盖

2、H，必可从H中选出有限个开区间覆盖[a,b]。反例：5.聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。5.1致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。6.柯西收敛准则反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。几个概念：区间套（闭区间套），聚点（3个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。但不存在属于所有开区间的公共点。举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成

3、立。但不能从中选出有限个开区间盖住（0，1）。因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，构成了开区间（0，1）的一个开覆盖，定义有界数列(点列){xn}的最大聚点与最小聚点A分别称为{xn}的上极限与下极限,记作数列的上下极限概念1.在（a，b）上的连续函数f为一致连续的充要条件是f（a+0）与f（b-0）都存在。不适合无限开区间f(x)一致连续的判定：3.闭区间上连续的函数必一致连续。5.若f(x)在有限区间I上无界，则f(x)在I上必不一致连续。P168.1.解答P168.7.证法1：不妨设{xn}单调增加。若{xn}无界或{xn}是常数列，则{xn}一定没有聚点。不合题意。故{

4、xn}必为有界数列且不是常数列。从而{xn}一定有确界，由单调有界定理的证明可知：证法2：由单调有界定理的证明可知：故{xn}一定有界，从而有确界。P172.2证有限区间I上一致连续的函数必有界。若I为闭区间，则结论显然。下面假设I为开区间（a,b）。P172.3证P172.3证法2