数列的极限(一个引例

《数列的极限(一个引例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章山东交通学院高等数学教研室第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质“一尺之棰，日取其半，万世不竭”——庄周1.引例：截丈问题第一天截剩下的部分第二天截剩下的部分第n天截剩下的部分一、数列极限的定义称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，按自然数称为通项(一般项)。如一般项这个引例反映了数列的某种特性：对数列无限的接近这个常数a，a称为其极限，如果存在某个常数a，当n无限增大时，2.数列的定义编号依次排列的一列数数列记为否则称为发散数列。则称这个数列为收敛数列，如一般项一般项一般项一般项收敛到0

2、1发散发散收敛数列的特性：无限地接近某个常数a随n的无限增大，3.数列的变化趋势——极限观察数列时的变化趋势当播放播放观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当观察数列时的变化趋势当通过对演示的观察，得当n无限增大时，无限接近于1。问题：无限接近意味什么？如何用数学语言刻划它.两个

3、数a和b之间的接近程度可以用两数之差的绝对值来度量，越小，a与b越接近.给定由只要有给定由只要有给定由只要有给定只要有定义：设为一数列，如果存在常数a，对于任意记或都成立，或者称数列收敛于a.给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当时，则称a是数列的极限，使时，证明欲使即使只要因此，取则时,有故证明数列的极限为1.例1已知思考：取可不可以？成立成立，即可。成立。注意（1）的作用在于衡量与a的接近程度，只要求（2）一经给出，暂看作是固定的，由其决定N（3）也可用代替，<号也可换成号，N的相应性（1）N与相关的，越

4、小，N越大，但N不是的函数（2）重要的是N的存在性，找到即可，但N不唯一几何解释最多只有有限项落在该邻域之外不能说由无限项在该邻域内，如的任意性数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：证明欲使只要即则当时,就有也可由取证明例2已知取故证明步骤：（3）不等式右端取整作为N，可放大求解出n满足的不等式（1）求解证明例3证明欲使只要即则当时,就有取解不等式（2）证明等比数列证明欲使只要则当n>N时,有故亦即例4设的极限为0.即因此，取1.收敛数列极限的唯一性证明：（反证法）及且取假设时，时，取满足的不等式矛盾，所以假设不真。定

5、理1收敛数列的极限唯一。即时，即时，时，二、收敛数列的性质2.收敛数列的有界性有界性否则无界。有界，无界定理2收敛数列一定有界。证明设取则当时,从而有有取则有所以数列有界。使对一切有界成立，则如注意收敛必有界，发散不一定无界无界必发散，有界不一定收敛，虽有界但不收敛数列3.收敛数列的保号性如果且则当时，定理3且则推论：如果从某项起且极限是a。定理4如果数列收敛于a，则其任一子数列也收敛，注意如果数列有两个子数列收敛于不同极限，发散。则证明数列发散的方法：a.定义c.找到的一个发散子列d.找到的两个有不同4.收敛数列与其子

6、列的关系子列：在数列中任意抽取无限多项并保持其在原数列中的如都是其子列先后次序，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。b.无界必发散极限的子列1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限小结练习：P301;3.(2)(4)3.(2)证明欲使只要即则当时,就有取即可3.(4)证明个欲使只要即则当时,就有取所以个即可，P315有界对一切时，时，