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《数列极限的7个等价性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、有限覆盖定理：使得证明：用反证法.被开区间系若闭区间则存在有限子系覆盖（即）,假设不然，即不能被将区间等分为两半,中有限个开区间覆盖，必至少有一半不能被将这样的一半记作（如果两半都如此，任取其一）.也有一半不能被中有限个开区间覆盖.将此记作依此类推.中有限个开区间覆盖.等分为两半，再将其中至少这样我们得到区间套存在唯一点由区间套定理知，因为覆盖区间所以使得因为所以使得与区间套的构做方式矛盾.开区间被开区间系覆盖①存在有限子系使得例如,令则被开区间系覆盖,但不能被其任意一个有限子系覆盖.闭区间被闭区间系覆盖②
2、存在有限子系使得例如,令则被闭区间系覆盖,但不能被其任意一个有限子系覆盖.1.非空实数集若有上(下)界则必有上(下)确界.2.单调有界数列必收敛.3.区间套定理.4.有界数列必有收敛子列.5.数列收敛当且仅当它是Cauchy列.6.有限覆盖定理.以上六条等价！已经证过的结论：单调有界必有极限(2)有上界必有上确界(1)设A是一个非空实数集，某个元素不是自己的上界.有上界.不妨设A的将此元素记作A的一个上界记作则令否则令令若是A的一个上界,令Ⅰ如此我们得到一个数列有下界记易知其每一项都是A的一个上界，数列单调减
3、少、所以收敛。由保序性,所以s是上确界.因为因为不是A的上界,所以有限覆盖定理(6)假设数列有界，因为没有收敛子列，存在有限个使得Bolzano定理(4)分别是其一个下界，一个上界，但没有收敛子列.所以开区间中只含中有限项.由有限覆盖定理，Ⅱ因为每个开区间只含中有限项，中有限项，矛盾！中只含所以中有限项，中中只含所以Ⅲ有限覆盖定理(6)但中的任意有限个中至少有一个记这样找到有界数列存在收敛子列假设开区间都不能覆盖中记作至少有一个不能被中的有限个开区间覆盖，不能被中的有限个开区间覆盖，由例题的结论，Bolzan
4、o定理(4)记则且有因为所以使得因为是开集，所以与区间列的构作方式矛盾.且Cauchy收敛准则(5)单调有界必收敛(2)Ⅳ设数列单调增加且有上界,但发散.由Cauchy收敛准则知,对于存在对于存在对于存在因为单调增加,所以使得使得使得从而数列无界,矛盾！123456有上(下)界则必有上(下)确界Cauchy收敛准则Bolzano定理区间套定理单调有界必收敛有限覆盖定理邻域点的邻域是指与点距离小于的点的集合即开区间聚点设集合若对于任意正数的邻域中都含有A中无穷多个点,则称是A的一个聚点.例如,A中每个点都是A的
5、聚点,也都是A的聚点.例如则A只有一个聚点而集合没有聚点.是A的一个聚点的充要条件是命题的邻域中都含有A中异于的点.数列有界,从而有收敛子列,记下证是A的一个聚点.7.有界无穷集必有聚点.证明任取设A是有界无穷集.是有界无穷集,任取是有界无穷集,任取含有A中无穷多个点即的邻域设是有界数列.记1)A是有限集.此时中有无穷多项相等,这些项组成的子列是常数列,收敛.2)A是无限集.此时A有聚点,记a是A的一个聚点.任取的一项,记作令在a的邻域中取中标号大于n1的一项,记作这样得到的子列收敛到a.因为从而,令中标号大
6、于n2的一项,记作在a的邻域中取12356有上(下)界则必有上(下)确界Cauchy收敛准则4Bolzano定理区间套定理单调有界必收敛有限覆盖定理7有界无穷集必有聚点
