2017上《高等数学》课程考试考前辅导资料

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1、2017上半年《高等数学1》课程考试考前辅导资料一、考试复习所用教材《高等数学(第5版)》（上册），同济大学应用数学系，高等教育出版社，2002年7月二、考试题型介绍1、单项选择（每题4分，共5个小题）2、填空（每题5分，共5个小题）3、计算题（每题10分，共4个小题）4、证明题（每题15分，共1个小题）三、考试相关概念、知识点、复习题及例题规划第1章函数与极限1、函数的定义和相关性质l定义:如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。（会求函数的定义

2、域）函数的相关性质:函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和有界性及其判定方法等。例1.求下列函数的奇偶性（1）（2）解析：（1）因为，所以是偶函数；（2）因为，所以是非奇非偶函数。参考书本第1章函数性质中的奇偶性判断，有界性等要熟练掌握。l复合函数的定义：设y=f(u)而u=φ（x)，且函数φ（x)的值域包含在f(u)的定义域内，那么y通过u的联系也是自变量x的函数，我们称y为x的复合函数，记为y=f[φ（x)],其中u称为中间变量。l函数的连续性：设函数y=f(x)在的某一邻域内有定义，如果，那么就称f（x）在处连续。在区间上每一点都连续

3、的函数，叫做在该区间上的连续函数；初等函数在定义区间上连续。（初等函数概念见课本P17）例2.下列函数是复合函数吗？（1）（2）答：1不是，2是复合函数。例3.求函数的连续区间。解：，函数在内除点x=2,x=-3外是连续的，所以函数f（x）的连续区间为。例4.设y=f(x),求的定义域.（函数连续性要熟练掌握）解析：对应应该有即所以的定义域是例5.设，求k使f(x)连续。解析：由于f(x)在和内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，所以在这两个区间内是连续的，故函数f(x)是否连续取决于x=0处是否连续，要让f(x)在x=0处连续，必须有

4、：由于又于是l反函数的求解方法要熟练掌握。2、求极限l掌握函数极限与数列极限，极限性质（比如有界性等），极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）并会用两个重要极限求极限（课本P49），洛必达法则，掌握无穷小、无穷大等概念和无穷小的一些性质，极限的各种求法（比如：型，型，型等极限求法）。a.一些需要注意的概念：（和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且）（1）等价无穷小：如果就说和是等价无穷小；注：等价无穷小的替换公式要熟练记忆使用，比如，。（2）同阶无穷小：如果就说和是同阶无穷小；（3）低阶无穷小：如果就说是比低阶的无穷小；（4）高阶无穷小：如

5、果就说是比高阶的无穷小。b.两个重要极限:,求极限时学会变换成两个重要极限的形式来求极限。例6.当时，与等价的无穷小量是（）A.B.C.D.解析：由于选D例7.求极限解析：第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。（要熟练掌握）例8.求极限解析：型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。注：型等也要熟练掌握！例9.观察一般项如下的数列的变化趋势，写出它们的极限。解：当n趋于无穷大时，第2章导数与微分掌握导数的定义，基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导，可导和连续的关系，n阶导数求导法（

6、比如2阶导数求法，隐函数求n阶导数）。掌握微分的概念和求法，可微和可导的关系等。1、导数的定义，几何意义及导数应用和求解（比如分段函数求导是怎样的等）可导必连续！（注意应用）熟练掌握复合函数的求导方法！A.导数定义表达式：学会利用表达式求导数！B.f(x)在处可导的充分必要条件是：左导数和右导数存在且相等例10.求在（0,2）处的切线方程。解析：导数的几何意义就是在该点的斜率，先求曲线在点（0,2）处切线的斜率k，，所以切线方程是，故y=2。（思路拓展：如果此题给的函数是隐函数，那么求斜率时要运用隐函数的求导法则。）例11.求分段函数中a和b的值

7、，已知f(x)在内连续且可导。解析：在定义域可导且在分界点处连续，若存在极限，则x=0处导数为a。利用连续函数性质：当时，左极限和右极限相等，得a=0;利用连续可导性得：=0，则b=0；例12.求方程所确定的隐函数的二阶导数解析：应用隐函数求导法：于是：上式两边对x求导：2、掌握微分的概念，可导和可微之间的关系及一介微分形式不变性，求函数的微分例13.已知，则dy=解析：先将方程变成常见的形式，再求微分。由得，对y=lnx进行微分，得第3章微分中值定理与导数的应用1、掌握洛必达法则例14．求极限.解：2.掌握罗尔定理和介值定理（第一章知识点），以

8、及掌握使用以上定理解证明题罗尔定理：如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a