微分方程的概念(VII)

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1、§7.1微分方程的概念第七章微分方程什么是方程？代数方程超越方程上述方程的共同点作为未知而要求的是一个或几个个特定的值（称为方程的根或解）体会到方程论对解决实际问题的作用设未知量列方程求解方程高等数学中方程的推广作为未知而要求的不再仅是一个或几个个特定的值，而是一个函数（称为方程的根或解）x是自变量，y=y(x)x,y是自变量，z=z(x,y)一、微分方程的概念（一）.实例例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐标,求此曲线方程.设曲线方程为y=y(x),则(二).概念1.微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.如上例中的：实质:联系自变量,未知函数以及未知

2、函数的某些导数(或微分)之间的关系式.一、微分方程的概念(三).分类分类1:按自变量的个数分常微分方程.偏微分方程.本章内容一、微分方程的概念例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？一、微分方程的概念（三）.分类分类2:微分方程的阶一、微分方程的概念微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.通常，n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,,y(n))=0，其中x是自变量，y是未知函数，F(x,y,y,,y(n))是已知函数，而且一定含有y(n).2021/8/310如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。一、微分方程的概念一、微分方程的概念例2：指出下列微

3、分方程的阶数。一阶二阶一阶三阶一、微分方程的概念例2：指出下列微分方程的阶数。一阶二阶一阶二阶（三）.分类分类3.线性与非线性方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂(不含乘积)时，微分方程就称为线性微分方程.否则为非线性微分方程。练习：一、微分方程的概念将函数y=y(x)代入方程后使方程恒等,则称之.（四）、主要问题————求方程的解微分方程的解：一、微分方程的概念如：方程中都是方程的解如果解中含有任意常数C,且个数与阶数相同必须独立n阶方程通解一般形式:（四）、主要问题————求方程的解微分方程解的分类：（1）通解：例如：通解通解一、微分方程的概念若：此解若为通解，

4、只可能是一阶微分方程的通解。确定了通解中任意常数的解。（2）特解：一、微分方程的概念微分方程解的分类：方程中都是方程的特解。问：两者有关系吗？若给出：可以代入得出。（3）初始条件:初始条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件一、微分方程的概念微分方程解的分类：如：可以确定中的C一、微分方程的概念例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐标,求此曲线方程.设曲线方程为y=y(x),则一阶线性微分方程初始条件通解特解4.几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证是的通解对用隐函数求导法得:故是方程

5、的解,且含有一个任意常数.通解一、微分方程的概念解：由初始条件代入由初始条件代入则于是，满足所给初始条件的特解为2021/8/3例2验证函数y=3e–x–xe–x是方程y+2y+y=0的解.解求y=3e–x–xe–x的导数，y=-4e–x+xe-x,y=5e–x-xe-x,将y，y及y代入原方程的左边，(5e–x-xe-x)+2(-4e–x+xe-x)+3e–x–xe–x=0，即函数y=3e–x–xe–x满足原方程，得有所以该函数是所给二阶微分方程的解.练习：验证解，并判断是通解还是特解？一、微分方程的概念微分方程的初等解法：初等积分法思考：怎么解微分方程？求解微分方程求

6、积分（通解可用初等函数或积分表示出来。）如引例中一、微分方程的概念小结微分方程：含有未知函数的导数或微分分类：一元/多元、阶、（非）线性解：通解（含C，且个数和阶数相同）特解，不含C，将初始条件代入通解得出。