微分方程的基本概念(VIII)

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1、第五章微分方程高等数学05-01-01第一节微分方程的基本概念高等数学05-01-02一、两个实例三、微分方程解的几何意义二、微分方程的基本概念高等数学05-01-03例（已知曲线的斜率求曲线方程）一曲线经过点A(0,1)，且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线的方程。高等数学05-01-04例（求物体的运动规律）把一质量为M的物体从地面上以初速v0垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，求该物体的运动方程s(t)。高等数学05-01-05或微分方程(differentialequation)含有自变量、未知函数及其导数（或微分）的方

2、程，称为微分方程。注在微分方程中未知函数及自变量可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现。高等数学05-01-06微分方程的阶(order)微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。高等数学05-01-07常微分方程如果微分方程中出现的未知函数是一元函数，则这种方程称为常微分方程，其一般形式为高等数学05-01-08其中x是自变量，y是未知函数。偏微分方程如果未知函数为多元函数，则这种微分方程称为偏微分方程。高等数学05-01-09微分方程的解(solution)如果把某个函数及其导数（或微分）代入微分方程，能使该方程成为

3、恒等式，那么这个函数就是该微分方程的解。高等数学05-01-10通解(generalsolution)如果微分方程的解中含有的独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。高等数学05-01-11特解(particularsolution)根据初值条件(initialcondition)，定出通解中的任意常数后所得的解，称为微分方程的特解。高等数学05-01-12一般地，一阶微分方程有一个初值条件：当x=x0时，y=y0高等数学05-01-13而二阶微分方程有二个初值条件：当x=x0时，y=y0当x=x0时，y=y1其中x0，y0

4、，y1是给定的值……解微分方程求微分方程的解的过程，叫做解微分方程。高等数学05-01-14解微分方程时，一般是先求通解，然后利用初始条件来确定任意常数，求出特解。例试判断下列方程是否为微分方程，若是的话，指出它的阶数。是，一阶是，二阶不是是，一阶是，一阶高等数学05-01-15（1）（2）（3）（4）（5）例验证函数y=C1ex+C2e2x是微分方程y+y2y=0的通解，并求出满足初值条件x=0时，y=3，y=0的特解。高等数学05-01-16课堂讨论题指出下列微分方程的阶数。高等数学05-01-17（1）（2）（3）（4）三阶二阶二阶一阶

5、积分曲线(integralcurve)微分方程的解是一个函数y=f(x)，它在平面上所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。高等数学05-01-18yOx积分曲线族高等数学05-01-19y=x21小结：微分方程常微分方程、偏微分方程微分方程的阶、解（通解，特解）初值条件解微分方程微分方程解的几何意义高等数学05-01-20