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1、第四章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与函数的极值第五节曲线的凹凸性与拐点第一节微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理看右图，函数连续，且两端点处的函数值相等，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，在C点和D点的切线有何特点？观察：费马（Fermat）引理通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）。一、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:证二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值定理又
2、称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.定理例2证例3证由上式得即即三、柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数特别地这时即为第二节洛必达法则证定义辅助函数则有例1解例2解例3解例4解例5解方法：将它们化为或未定式的类型，再求解.例6解例7解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例8解例9解此极限不存在，洛必达法则失效，但不能由此断定所求极限不存在。注意：洛必达法则的使用条件．第三节泰勒公式一、问题的提出二、泰勒中值定理一、问题的提出当函数比较复杂时，为了便于研究，常用
3、多项式来近似表达函数。不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.二、泰勒(Taylor)中值定理证明:拉格朗日型余项佩亚诺型余项麦克劳林(Maclaurin)公式解代入公式,得由公式可知估计误差其误差常用函数的麦克劳林公式解第四节函数的单调性与函数的极值一、函数单调性及其判断二、函数的极值与最值三、曲线的凹凸性与拐点四、曲率五、函数作图一、函数单调性的判断定理证应用拉格朗日中值定理,得例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．例2讨论y=
4、x的单调性。解：此函数的定义域为例3解例4解单调增加区间为单调减少区间为例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,二、函数的极值与最值定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.1.函数的极值定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)设函数在处连续，且在的某一个去心邻域内可导，求极值的步骤:例6解列表讨论极大值极小值定理3(第二充分条件)证同理可证(2).例7解图形如下注意:例8解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.2.函数的最值常会遇到下面这类问题：在一定条
5、件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上归为求某一函数的最大值和最小值问题。步骤:（1）求驻点和不可导点;（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例9解计算比较得实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出
6、去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为第五节曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点二、曲率三、函数作图一、曲线的凹凸与拐点如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义定理2证(1)如何判断曲线的凹凸性？例11解注意到,方法1:拐点的求法例12解凹的凸的凹的拐点拐点方法2:例13解例14解注意:二、曲率规定：单调增函数如图，弧微分公式
7、曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大曲率的定义))yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.例15解显然,定义曲率圆及曲率半径1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为
8、曲线在该点附近的二次近似).三、函数作图定义:1.铅直渐近线例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:注意:例16解利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步函数作图第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步例17解非奇非偶函数,且无对称性.列表
