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时间:2019-08-02
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1、平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法向量概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?ABCD猜想:1.长方形对角线的长度与
2、两条邻边长度之间有何关系?2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗?例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知:平行四边形ABCD。求证:解:设,则∴(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;常设基底向量或建立向量坐标。(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:简述:形到向量向量的运算向量和数到形例2如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能
3、发现AR、RT、TC之间的关系吗?ABCDEFRT猜想:AR=RT=TC又因为共线,所以设因为所以ABCDEFRT解:设则由于与共线,故设线,故AT=RT=TCABCDEFRT练习1、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示,已知⊙O,AB为直径,C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析:要证∠ACB=90°,只须证向量,即。解:设则,由此可得:即,得∠ACB=90°思考:能否用向量坐标形式证明?练习2平行四边形ABCD中,E为AB的中点,用向量方法,求EF:FD的值(可选为基底)ABCDEF简解:设又因为A、F、C共线,可设由向量相等知识得所以EF:FD
4、=1:2
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