平均数、标准差和变异系数

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1、在数理统计中，平均数是用来反映一组变数的集中趋势，即变数分布的中心位置。常用的度量指标有：1.算术平均数2.中位数（M）4.几何平均数（Mg）3.众数（Mo）5.调和平均数（H）3.1平均数：第三章平均数、标准差与变异系数作为一个资料的代表，指资料中各变数集中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。不同的平均数适合于不同的数据资料。例如：不同国家、地区、种族之间身高、体重等的比较；不同品种的家畜、家禽之间生产性能的比较集中趋势的度量平均数的意义3.1.1算术平均数一、定义一组资料中，所有观测值的总和除以其个数所得到的商，称为算术平均数，简称平均数或

2、均数。是最常用的一种集中趋势度量指标。样本的平均数记为总体平均数记为集中趋势的度量：第i个观察值或变数n：观察值或变数的个数∑：求和符号（sigma）二、计算公式：集中趋势的度量（一）离均差之和为零：一个样本观察值与平均数之差简称离均差。∑（xi-）=（x1-）+(x2-)+……+(xn-)=x1+x2+……+xn+n•=∑xi-n‧∑xi/n=0三、算术平均数的性质集中趋势的度量（二）离均差平方和最小：一个样本的各个观察值与平均数之差的平方和比各个观察值与任意其他数之差的平方和小。所以：平均数是与各个观察值最接近的数值。平均数代表这个样本的集中

3、趋势。集中趋势的度量三、算术平均数的性质样本平均数常作为检验对象的原因1、离均差的平方和∑（-）2最小。说明样本平均数与样本各个观测值最接近，平均数是资料的代表数。2、样本平均数是总体平均数的无偏估计值，即E（）=μ。3、根据统计学中心极限定理，样本平均数服从或逼近正态分布。定义：将n个观察值从小到大依次排队，位于中间的那个观察值称为中位数。3.1.2中位数（Md）集中趋势的度量对于频数分布的资料，公式如下：Lmd：中位数所在组的组下限；fm：中位数所在组的频数；C：从第一组到中位数所在组前一组的累计频数n：样本含量；i：组距；集中趋势的度量3.

4、1.2中位数（Md）定义：n个非负数的乘积开n次方的根称为几何平均数，用G表示。3.1.3几何平均数集中趋势的度量为了计算方便，各变数先取对数，再相加除以n，即为logG，再求其反对数，即为G值。集中趋势的度量3.1.3几何平均数几何平均数用于以百分率、比例表示的数据资料，如：增长率、利率、药物效价、抗体滴度等。能够消弱数据中个别过分偏大值的影响。定义：在资料中某一个变数出现次数最多，就称之为众数。1.离散性资料：出现频数最多的数。2.连续性资料：频数分布表中，频数出现最多的一组的组中值。！！有的资料可出现多个众数，即多个数具有相同的最高频数；有

5、的资料没有众数，即所有数出现的频数都相同。集中趋势的度量3.1.4众数定义：各观察值倒数的算术平均数的倒数3.1.5调和平均数集中趋势的度量适用于极端右偏态3.1.5调和平均数集中趋势的度量例：用某药物救治12只中毒的小鼠，它们的存活天数记录如下：8、8、8、10、10、7、13、10、9、14，另有两只一直未死亡，求平均存活天数。由于数据极端右偏态，用调和平均数较为合理。1152.2.3百分位数（百分位点）指将一组n个数据由小到大排列，如果小于某数值的数据个数为全体数据个数的x%，则称该数为第x百分位数或x%分位数。25%分位数或下四分位数：0

6、.25n个数的后一个数。50%分位数或中位数：0.5n个数的后一个数。75%分位数或上四分位数：0.75n个数的后一个数。适用于非参数检验，如卡方检验。4、几何平均数和调和平均数适用于右偏态分布。集中趋势的度量3、中位数平均数的代表程度与样本的变异程度有关一个样本内有很多的变数，用平均数作为样本的代表，其代表程度决定于样本内各个变数的变异程度。3.2标准差离散趋势的度量即使两个样本的平均数相同，但是样本内变数的变异程度不一定相同。产仔数总和甲8，4，16，12，22，17，6，14，6，511011乙14，8，11，9，11，12，10，14，1

7、3，811011离散趋势的度量3.2标准差1.如果各个变数相同或者变异程度比较小，则平均数能够代表整个样本。2.如果各个变数的变异程度比较大，则平均数的代表性就小。离散趋势的度量因此，单靠平均数不能全面、正确地了解样本。也不能了解平均数作为样本的变异程度。3.2标准差定义：全部变数的最大值与最小值之差R=Max(x)-Min(x)3.2范围（全距）范围或全距可以反映变异程度的一部分，但是不能代表样本内各变数之间的变异程度。目前，被广泛使用的是以标准差来度量变异程度。离散趋势的度量如果一个样本有n个观察值x1，x2……xn，设其算术平均数为，则该样

8、本的标准差为：标准差考虑了每个变数与平均数的离差。每个变数与平均数相差愈小，样本变异程度愈小，反之，愈大。因此，标准差是离散程度的度量3