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《常数项级数的审敛法(VIII)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.2常数项级数的审敛法(1)正项级数及其审敛法1.定义各项都非负的级数,通常称为正项级数.各项都非正的级数,通常称为负项级数.正项级数、负项级数统称为保号级数.设级数是一个正项级数，即正项级数的部分和数列单调增加.由故有因此部分和数列单调递增.定理7.2.1(正项级数收敛原理)正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界.证明:设级数为正项级数,于是,若有上界,则根据单调有界数列必有极限,可知极限存在,从而收敛.若无上界,则,从而有发散.pp35准则3定理7.2.2.(比较审敛法)设两个正项级数和满足(1)由收敛,可推
2、出收敛；则(2)由发散,可推出发散.证明：设级数与的部分和分别为与,则有于是,根据定理7.2.1,若收敛,则有上界,从而有上界,推得收敛.若发散,则无上界,从而无上界,推得发散.例1解由定理7.2.1可知,例如,级数，是收敛的;级数是发散的.例2解因为定理7.2.3.（比较审敛法的极限形式）则(1)若,则二级数有相同的敛散性;(2)若,则当收敛时,可得收敛;(3)若,则当发散时,可得发散.设与为两个正项级数,且定理7.2.3表明，无穷级数收敛与否最终取决于级数一般项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小.例2中，方法：通过无穷小量
3、的等价关系,进而利用已知级数的敛散性判别.需要有一个已知敛散性的级数作为比较的对象.几何级数,p-级数,调和级数例3判别下列级数的敛散性：(1)；(2).解(1)所以原级数发散.而调和级数发散,比较审敛法的不便:常用于比较的级数:(2)当时，,则，即,而级数收敛，所以原级数收敛.练习1—pp184.7.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的敛散性.发散收敛发散练习1—pp184.7.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的敛散性.收敛发散收敛定理7.2.4.（比值审敛法达朗贝尔判别法)比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:当
4、时比值审敛法失效;设为正项级数,且(其中允许为)则(1)当时,级数收敛；(2)当时,级数发散；(3)当时,级数可能收敛,也可能发散.故当时比值审敛法失效.解例4判别下列级数的收敛性:故级数收敛.故级数收敛.比值审敛法失效,改用比较审敛法故级数发散.而级数收敛.练习2—pp185.8.用比值审敛法判定下列级数的敛散性.发散收敛收敛收敛定理7.2.5.根值审敛法(柯西判别法)设为正项级数,且(其中允许为)则(1)当时,级数收敛；(2)当时,级数发散；(3)当时,级数可能收敛,也可能发散.故当时,不能判定级数的敛散性.解例5判别级
5、数的收敛性:由根值审敛法可知级数收敛.2021/7/1422作业习题7P1847.8
