常数项级数敛散性的判定法

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1、常数项级数敛散性的判定法第二节正项级数的概念则称其为正项级数．一、正项级数及其敛散性的判定法则其部分和数列单调增加．如果部分和数列有上界，如果部分和数列没有上界，从而我们有正项级数收敛的充要条件解由图可知的收敛性．发散．所以没有上界，发散．p-级数发散．所以没有上界，发散．由图可知所以有上界，收敛．综上所述，我们有以下重要结论：调和级数，调和级数是发散的．二、正项级数敛散性的判定法1.比较判定法定理证明即的部分和数列有上界，由(1)用反证法可证(2)．1.比较判定法定理根据级数的性质，定理中的条件可放宽为：利用比较判定法判定正项级数的敛散性，需要找一个已知敛

2、散性的正项级数作为比较级数．常用的比较级数是几何级数，p-级数．例2解另解×利用比较判定法判定正项级数的敛散性，需要找一个已知敛散性的正项级数作为比较级数．如果所需判定的正项级数收敛，则需找一个通项较大的收敛的正项级数作为比较级数．如果所需判定的正项级数发散，则需找一个通项较小的发散的正项级数作为比较级数．从而在实际问题中，直接应用比较判定法有很大的盲目性，且也很不方便．为此我们给出方便实用的比较判定法的极限形式．定理(比较判定法的极限形式)证明由比较判定法知例3解判定下列级数的敛散性例4判定下列级数的敛散性解推论例5证由上述推论知2.比值判定法(达朗贝尔判

3、定法)定理证明从而有注意比值判定法的优点:不必找比较级数．解例6判定下列级数的敛散性例7判定级数的敛散性．解所以原级数发散．例8证(1)例8证(2)例9判定级数的敛散性．解3.根值判定法(柯西判定法)定理例10解4.柯西积分判定法定理例11解例12(A)(B)(C)(D)解正确的选项应是B．故A、D错故C错二、交错级数及其敛散性判定法1.交错级数的概念称为交错级数．它是正负项相间的级数．2.交错级数敛散性的判定法莱布尼茨定理莱布尼茨定理证明且满足收敛的两个条件，定理证毕．也是交错级数，例13判定级数的敛散性．解所以级数收敛．以后可以证明：由定理可知，若以例1

4、4判定级数的敛散性．解三、绝对收敛与条件收敛前面我们讨论了正(负)项级数与交错级数敛散性的判定法，定义下面我们讨论任意项级数如何判定其敛散性．如级数收敛，所以级数条件收敛．证明定理即绝对收敛的级数本身一定收敛．定理的作用：任意项级数正项级数例15问级数绝对收敛，还是条件收敛？解条件收敛．例16判定级数的敛散性．解绝对收敛；条件收敛；发散．例17判定级数的敛散性．解根据比较判定法，原级数绝对收敛．例18解(A)(B)(C)(D)例18解(A)(B)(C)(D)例19解(A)(B)(C)(D)××例19解(A)(B)(C)(D)××比(根)值判定法的一般形式则当

5、时，级数绝对收敛；当时，级数发散；例20判定级数的敛散性．解最后我们介绍比(根)值判定法的一般形式．思考题解答由比较判定法知收敛．反之不成立．例如：收敛，发散．四、数项级数敛散性判定法小结正项级数任意项级数敛散性的判定1.2.3.按基本性质4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛与发散5.交错级数(条件收敛)(莱布尼茨定理)比(根)值法的一般形式