常微分方程的应用与基本概念

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1、常微分方程主讲教师：E-mail:Chenning@swust.edu.cn新课导入1.课程介绍：2.最终成绩评定方式：最终成绩=平时成绩(30分)+期末考试成绩（70分）平时成绩=平时作业（5×3=15分）+出勤（5×3=15分）1.什么是微分方程？含有自变量，未知函数及其导数的关系式称为微分方程。2.什么是常微分方程？联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程；常微分方程是只含有一个自变量的微分方程；《常微分方程》则是研究含有一个自变量的微分方程的求解方法及解的性质的科学。研究对象：只含一个自变量的微分方程。基本任务：求解问题及解的性质

2、。什么是常微分方程？3.学习《常微分方程》这门课的意义？在自然界中，很多时候为了刻划客观对象的运动规律或变化规律，经常需要描述变量之间的函数关系。但针对实际问题，我们通常很难直接找到这种函数关系，却容易建立起变量所满足的微分方程。如果方程可求解，则可以得到描述客观对象运动规律或变化规律的函数关系。这就是说微分方程有着深刻而生动的实际背景。举例说明：1.《社会学》中的Malthus人口模型2.《种群生态学》中的Logistic虫口模型3.《医学》中的传染病动力学模型应用举例5.《电学》中的R-L-C电路模型4.《力学》中的变力作用模型10.《化学》中的流体浓度问题

3、模型9.《光学》中的光学仪器成象原理模型8.《气象学》中的长期天气预报不可能问题7.《原子物理学》中的裂变问题模型6.《热学》中的物体冷却模型应用举例赝品的鉴定基本概念1.常微分方程与偏微分方程：3.线性常微分方程与非线性常微分方程：2.常微分方程的阶：5.常微分方程的显式解和隐式解：6.常微分方程的特解（特积分）与通解（通积分）：7.常微分方程定解问题的提法：4.齐次微分方程和非齐次微分方程：8.初等积分法求解常微分方程：作业与思考练习1：列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度—0.4米/秒,试建立该问题的微分方程模型，并求列车开始制

4、动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？练习2：数学摆模型数学摆是系于一根长度为的线上而质量为的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.一定质量的镭，随着时间的变化，它的质量会减少。已知裂变速度与它的存余量成正比，假设时刻t镭的质量R。分析：很难直接得到R与t函数关系，但却容易建立变量之间的一个微分方程：这里为比例常数。借助于微积分知识，可对方程求解。原方程变形为例：镭的裂变模型两端积分得：亦即注意到初始条件：即得于是这里的比例常数可通过实验获得。例1的解决过程就是数学建模的过程。返回解设制动后

5、t秒钟行驶s米，s=s(t),则注意到在t=0时，练习1：列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度—0.4米/秒,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？于是代入条件后知：从而故从开始制动到列车完全停住共需秒。练习2：求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.解:设所求的曲线方程为由导数的几何意义,应有即又由条件:曲线过(1,3),即于是得故所求的曲线方程为:例2.长期天气预报不可能问题为了刻划空气气流对流的规律，Lorenz得到了如下的微分方程组这里，x正比于对流运动强度，y正比于水平方向

6、温度的变化，z正比于竖直方向温度的变化，参数为正常数。通过对Lorenz方程组稳定性的讨论，可得到长期天气预报的不可能性。另外，人口模型、传染病模型、水波运动模型、光纤通讯中脉冲波胞的传输模型等等，均是微分方程模型。返回Kermack-McKendrick的SIR仓室模型所谓仓室模型就是针对某类传染病的传播特征和环境情况将某地区的人群（或某一种群）分成三类：易感者类：其数量记为S(t),表示t时刻尚未染病但有可能被该类病菌或病毒感染的个体数；染病者类：其数量记为I(t),表示t时刻已经染病并且有感染力的个体数；移出者类：其数量记为R(t),表示t时刻从染病中康复

7、后移出的个体数；SIR模型的三个基本假设：（1）不考虑人口的出生与死亡，环境封闭（没有流入和流出），从而成员的总数始终保持一常数K,即：（2）一个染病者一旦与易感者接触就必然有一定的感染力。假设t时刻单位时间内已染病者传染易感者的数目与此时此刻易感者的数量S(t)成正比，比例系数为；（3）假设t时刻单位时间内从染病者中康复后移出的成员数与此时此刻已感染者的数量I(t)成正比，比例系数为，并且假设康复者具有永久免疫力，康复后不会再次被此疾病感染；S(易感者）I（染病者）R（移出者）SIR模型传染病示意图对每一仓室的成员变化率建立平衡方程式，变得到了下面经典的SIR

8、模型：返回例3.物理冷却