圆周运动中临界问题

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1、圆周运动中的临界问题教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征教学内容一、有关概念1、向心加速度的概念2、向心力的意义　（由一个力或几个力提供的效果力）二、内容1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图4－2－2图4－2－3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv临界=；②能过最高点的条件：v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力；③不能过最高

2、点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.（2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：①当v=0时，FN=mg（FN为支持力）；②当0＜v＜时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力；③当v=时，FN=0；④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而增大.图4－2－4图4－2－5bOa图　4若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v≥，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.例1长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5）

3、，在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A的速率v1＝1m／s时②当A的速率v2＝4m／s时解析：V0=＝m／s＝m／sALOm图　5　小球的速度大于m／s时受拉力，小于m／s时受压力。解法一：①当v1＝1m／s＜m／s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N第8页共8页Nmg由牛顿第二定律　mg－N＝m　　　　　　　　　N＝mg－m＝16N　即杆受小球的压力16N。mgF②当v2＝4m／s＞m／s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F，由牛顿第二定律　mg＋F＝m　　　　　　　　　F＝m－mg＝44N即杆受小球的拉力44N。解法二：小球在最高

4、点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。　　　　由牛顿第二定律　　　mg＋F＝m得　F＝m（－g）当v1＝1m／s时，F1＝－16N　　F1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当v2＝4m／s时，F2＝44N。　　F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例2如图4所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，有一长l＝0.4m的细绳，一

5、端固定在O点，另一端拴一质量为m＝0.2kg的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A时最小速度；(2)如细绳受到9.8N的拉力就会断裂，求小球通过最低点B时的最大速度.2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例3如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计）

6、，一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。mgNTθ图　9⑴当v＝时，求绳对物体的拉力；⑵当v＝时，求绳对物体的拉力。解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为，则有解得（1）当（2）当第8页共8页时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则例4如图6所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳30°45°ABC图　6长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：①当角

7、速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当ω逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1，则有：TACcos30°＝mgTACsin30°＝mω12Lsin30°将已知条件代入上式解得　ω1＝2.4rad／s②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到ω2时，TAC＝0（这又是一个临界状态），则有：　　　TBCcos45°＝mgTBCsin45°＝mω22Lsin30°将已知条件代入上式解得　ω2＝3.16rad／s所以　当ω满足2.4rad／s≤ω≤3.16rad／s，A

8、C、BC两绳始终张紧。　　　本题所给条件　ω＝3ra