圆周运动中的临界问题

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1、圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。图11、与绳的拉力有关的临界问题例1如图1示，两绳系一质量为的小球，上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：（1）当角速度很小时，和与轴的夹角都很小，并不张紧。当逐渐增大到时，才被拉直（这是一个临界状态），但绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为，则有：将已知条件代入上式解得　（2）当角速度继续增大时减小，增大。设角

2、速度达到时，（这又是一个临界状态），则有：将已知条件代入上式解得　所以当满足，两绳始终张紧。本题所给条件，说明此时两绳拉力都存在。则有：将数据代入上面两式解得　，　注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果时，，与轴的夹角小于。如果时，，与轴的夹角大于。2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题图2例2如图2所示，细绳一端系着质量为的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为，并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件可让处于静止状态。（）解析：由分析可知，如果平面不转动，会被拉向圆孔，即不能处于静止状态

3、。当平面转动的角速度较小时，与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律，对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度是最小的临界角速度，；当平面转动的角速度较大时，与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向指向圆心，根据牛顿第二定律，对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐增大，当静摩擦力增大到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度是最大的临界角速度，。故要让保持静止状态，平面

4、转动的角速度满足：3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题图3例3如图3所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，一条长为的轻绳一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小物体（物体可看作质点），物体以速率绕圆锥体的轴线做水平面内的匀速圆周运动。（1）当时，求绳对物体的拉力；（2）当时，绳对物体的拉力又是多少。解析：物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。水平方向：①竖直方向：②由①②得③由③式可以看出，当一定时，越大，越小，当线速度增大到某一个值时，能使，此时物体与锥面接触又恰好没

5、有相互作用，那么就是锥面对物体有无支持力的临界速度，令③式等于零，得（1）因为，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立①②两式得（2）因为，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为，物体仅受重力和拉力的作用，这时有④⑤由④⑤两式得，二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。临界条件：假设小球

6、到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。（1）（刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）（能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）（3）（实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，绳的长度，轻绳能够承受的最大拉力为，现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（）解析：题目中给出了两个条件，首先要让小球能够做完整的圆周

7、运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的类型，小球过最高点的临界条件是重力提供向心力，此时绳子没有拉力的作用，即，，再从最高点到最低点列动能定理方程，则有，得，此即小球在最低点的初速度的最小值。第二个条件是绳子不断，通过分析很容易知道，绳子在最低点最容易断，只要最低点不断，其它点都不会断。所以在最低点有得所以小球的初速度满足的条件是2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点