对弧长的曲线积分(VII)

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1、第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第十章curvillnearintegralandsurfaceintegral第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分第十章一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值

2、在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,④曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.2.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积分为注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)4.性质在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数是L上关于x的偶函数L1是曲线L落在y轴

3、一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质曲线L上连续,则当(或y)(或y)当(或x轴)(或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数与积分曲线L的对称性.例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于对称性,计算得是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续导数,解法化为参变量的定积分计算注意对弧长的曲线积分要求定积分的下限一定要小于上限特殊情形(1)(2)(3)特殊情形推广或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.为参数)

4、,例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)机动目录上页下页返回结束解例2解对x积分?练习练习在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒故例3.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,则机动目录上页下页返回结束例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:线机动目录上页下页返回结束五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题答案