定积分的概念及性质储宝增高数

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1、第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质第五章一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)取近似.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它

2、分成在每个小段上物体经2)取近似.得已知速度n个小段过的路程为3)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,取近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分定义(P143)任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定理1.定理2.且只有有限个间断点可积

3、的充分条件:(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取例21.用定积分表示下述极限:解:或三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端规定性质证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是当a,b,c的相对位置任意时,例如则有5.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则推论2.证:即6.设则例3.利用定积分的几何意义求解从几何上看，定积分表示的是与曲线所围成的图形的面积，也就是单位圆在第一象限部分的面积，即，由此可得解令在上有则是单调增函数，当时，有依性质5，可知.例4.比较积分值的

4、大小.例5+.试证:证:设则在上,有即故即7.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因例6.设可导，且求解由积分中值定理，存在，使得，因此例7.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算1.用定积分表示下列极限:解:思考与练习2.如何用定积分表示下述极限提示:极限为0!