定积分的几何应用(IV)

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1、6-6定积分的几何应用11.无穷区间上的反常积分复习定义：计算：2.无界函数的反常积分定义：(a是瑕点)计算：23.两个重要的反常积分3第六节定积分的几何应用第六章二、求平面图形的面积三、求立体的体积一、定积分的元素法4回顾(求曲边梯形的面积)曲边，以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.设函数在[a,b]上连续，求以为一、定积分的元素法5abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”的面积，则面积元素记为则若用表示任一小区间上的窄曲边梯形6注意：使用元素法的条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a

2、,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b]上的值可由定积分示为(3)在[a,b]中任取得小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.7用元素法求量U的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的微分元素.3.写出定积分的表达式：先作图81.直角

3、坐标系情形二、定积分在几何上的应用oyx(1)为曲边，以以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.(2)由曲线所围图形的面积.xoy其面积元素为：则面积为上曲线下曲线9(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy10总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正有负，时，时，11例1：求由曲线与直线所围成的平面图形的面积．解:曲线与直线的交点为和所求面积为12解法1.两曲线的交点面积元素选为积分变量例2计算由两条抛物线和

4、所围成的图形的面积.xx+dx问题：积分变量只能选吗？13解法2.两曲线的交点面积元素选为积分变量，14解两曲线的交点例3计算由曲线和所围成的图形的面积.选为积分变量说明:合理选择积分变量，能使计算简单.15解两曲线的交点说明：注意各积分区间上被积函数的形式．选为积分变量例3计算由曲线和所围成的图形的面积.16解由公式得：可直接从几何意义上得到xy=sinxoy例4求由曲线y=sinx与直线及x轴所围成的平面图形的面积.17如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（相当于定积分的换元）(其中和对应曲线起点与终点的参数值)在

5、(或)上具有连续导数，连续.18解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5求椭圆的面积.19例6求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解20三、函数定义：广义积分是参变量α的函数,称为函数．函数具有如下递推公式：(α+1)=α(α)(t＞0).特别地,当α=n为正整数时,有(n+1)=n!21函数的重要性质：(α+1)=α(α)特别,(n+1)=n！证明：22例7：利用函数计算下列反常积分.解:(1)(2)23例7：利用函数计算下列反常积分.解:(2)24小结一、元素法的一般步骤

6、：1.根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].2.把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的近似表达式量U的元素.3.写出定积分的表达式：也叫微分元素.作图25二、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.直角坐标系情形曲边梯形的面积oyxxoy其面积为上曲线下曲线26(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)xyoy+dyycdxoyy+dyycd则面积为右曲线左曲线曲边梯形的面积27作业：P261：1(1)预习：从258到261页P271：928面

7、积元素曲边扇形的面积为:二、极坐标系情形设由曲线及射线围成一个曲边扇形，求其面积.其中在上连续，且取为积分变量，则积分区间为在上任取一小区间则29对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.30解利用对称性知31部分的面积.例7求由曲线和解所求面积为由图形的对称性，所围成的公共23x..解方程组得交点坐标为：3233(3)求和，(4)取极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为则(2)计算的近似值，而第i个(1)把区间[a,b]分成n个长度为的小区间得A的近似值,得A的精确值面积表示为定积

8、分的步骤如下34abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”的面积，则取面积元素记为则若用表示任一小区间上的窄曲边梯形35