定积分与微积分基本定理(I)

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1、§3.4定积分与微积分基本定理高效梳理②一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴､曲线f(x)以及直线x=a､x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.考点自测答案:B答案:C答案:D答案:1答案:3题型突破规律方法:利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分

2、的性质,根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可.题型二tixinger求曲边多边形的面积【例2】在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为.试求:切点A的坐标及过切点A的切线方程.规律方法:本题将导数与定积分联系起来,解题的关键是利用曲边三角形AOC的面积为建立关于切点坐标的方程求出切点坐标.创新预测2如图,设平面图形由曲线y=x2,y=x及y=2x所围成,求此平面图形的面积.题型三tixingsan定积分在物理学中的应用?【例3】列

3、车以72km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问:列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?解析:因列车停在车站时,速度为0.故应先求出速度的表达式,之后令v=0,求出t.再根据v和t应用定积分求出路程.已知列车速度v0=72km/h=20m/s,列车制动时获得的加速度为a=-0.4m/s2,设列车开始制动到经过ts后的速度为v,规律方法:作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程,可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.创新预测3一辆汽车的速度-时间曲线如图

4、,求该汽车在这1min内行驶的路程.题型四tixingsi定积分的综合应用【例4】如图,抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A､B,点P在抛物线上从A向B运动.(1)求使△PAB的面积最大时P点的坐标(a,b),(2)证明由?孜锵哂胂叨蜛B围成的图形,被直线x=a分为面积相等的两部分.规律方法:本题考查导数与积分的应用,求面积的最值,其基本思路是:将面积表示成某个变量的函数,然后利用求最值的方法求解.在证明两部分的面积相等时如果用常规方法不容易求出,不要忘记用定积分求曲边多边形的面积,这样可能更容易些.创新预测4

5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是-.(1)求f(x)的解析式;(2)设直线l:y=t2-t(其中0

6、2.如图所示,当S1=S2时,点P的坐标是()答案:A解析:由题意可得当0

7、2+bx在点x=1处有极值-2.(1)求常数a､b的值;(2)求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.上的奇函数,所以函数图象关于原点成中心对称.所以所求图形的面积为