学案4平面向量应用举例

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1、学案4平面向量应用举例向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.在前几年的高考命题中,主要考查用向量知识解决夹角和距离问题,随着新课标的推行和普及,在高考命题中,本学案内容将会越来越受重视,用向量知识解决物理问题,进行学科之间的交叉和渗透也是将来的一种命题趋势.1.向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件a∥b.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件a⊥b.(3)求夹角问题.(4

2、)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

3、a

4、=或

5、AB

6、=

7、AB

8、=.(5)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系①设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a=(a1,a2)平行于l，则k=;如果已知直线的斜率k=，则向量(a1,a2)与向量(1,k)一定都与l.利用夹角公式平行②与a=(a1,a2)平行且过P(x0,y0)的直线方程为;过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为.(6)两条直线的夹角已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2

9、=0,则n1=(A1,B1)与l1垂直，n2=(A2,B2)与l2垂直，则l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其补角）.设l1与l2的夹角是θ，则有cosθ==.a2x-a1y+a1y0-a2x0=0a1x+a2y-a2y0-a1x0=0

10、cos

11、2.向量在物理中的应用(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用.(2)向量在速度的分解与合成中的应用.考点1以向量为载体的综合问题【评析】本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用.【解析】已知向量m=

12、(2sinx,cosx),n=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(m·n-1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)确定函数f(x)的单调递增区间.考点2向量在三角函数中的应用【分析】通过向量的数量积运算得到一个复合函数f(x)=loga〔2sin(2x+)〕,根据复合函数的单调性进行解决.【解析】(1)因为m·n=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,所以f(x)=loga〔2sin(2x+)〕，故T==π.

13、(2)令g(x)=2sin(2x+),则g(x)单调递增的正值区间是(kπ-,kπ+〕，k∈Z,g(x)单调递减的正值区间是〔kπ+,kπ+),k∈Z.∴当01时，函数f(x)的单调递增区间为(kπ-,kπ+〕，k∈Z.【评析】这类问题主要是向量与三角知识点的综合.解决问题的主要方法是:通过向量的运算把问题转化为三角问题,再利用三角函数的知识解决.已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.(1)若a⊥b,求

14、θ;(2)求

15、a+b

16、的最大值.(1)a⊥ba·b=0sinθ+cosθ=0θ=-.(2)

17、a+b

18、当sin(θ+)=1时，

19、a+b

20、有最大值,此时θ=,最大值为.在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-y=4相切.（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A,B两点，圆内的动点P使

21、PA

22、,

23、PO

24、,

25、PB

26、成等比数列，求PA·PB的取值范围.考点3向量在解析几何中的应用【分析】（1）利用圆心到直线的距离求出r.(2)设点利用坐标求取值范围.【解析】（1）依题设，圆O的半径r等于原点O

27、到直线x-y=4的距离，即r==2，得圆O的方程为x2+y2=4.(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1

28、PA

29、,

30、PO

31、,

32、PB

33、成等比数列，得，即x2-y2=2.PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于点P在圆O内，故x2+y2<4x2-y2=2,由此得y2<1.所以PA·PB的取值范围为［-2,0).【评析】向量与解析几何的综合是高考中的热点,主要题型有:①向量的概念、

34、运算、性质、几何意义与解析几何问题的结合；②将向量作为描述问题或解决问题的工具；③以向量的坐标运算为手段，考查直线与圆锥曲线相交、轨迹等问题.【解析】1.用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论.2.要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件及几何性质的应用.1.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性.在处