学案4 平面向量应用举例

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1、学案4平面向量应用举例名师伴你行SANPINBOOK考点一考点二考点三名师伴你行SANPINBOOK返回目录1.向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件a∥b.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件a⊥b.名师伴你行SANPINBOOK(3)求夹角问题.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

2、a

3、=或

4、AB

5、=

6、AB

7、=.(5)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系①设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a=(a1,a2)平行

8、于l，则k=;如果已知直线的斜率k=，则向量(a1,a2)与向量(1,k)一定都与l.返回目录利用夹角公式平行名师伴你行SANPINBOOK返回目录②与a=(a1,a2)平行且过P(x0,y0)的直线方程为;过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为.(6)两条直线的夹角已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则n1=(A1,B1)与l1垂直，n2=(A2,B2)与l2垂直，则l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其补角）.设l1与l2的夹角是

9、θ，则有cosθ==.a2x-a1y+a1y0-a2x0=0a1x+a2y-a2y0-a1x0=0

10、cos

11、名师伴你行SANPINBOOK2.向量在物理中的应用(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用.(2)向量在速度的分解与合成中的应用.返回目录名师伴你行SANPINBOOK返回目录已知向量m=(2sinx,cosx),n=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(m·n-1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)确定函数f(x)的单调递增

12、区间.考点一向量在三角函数中的应用名师伴你行SANPINBOOK返回目录【分析】通过向量的数量积运算得到一个复合函数f(x)=loga〔2sin(2x+)〕,根据复合函数的单调性进行解决.【解析】(1)因为m·n=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,所以f(x)=loga〔2sin(2x+)〕，故T==π.名师伴你行SANPINBOOK返回目录(2)令g(x)=2sin(2x+),则g(x)单调递增的正值区间是(kπ-,kπ+〕，k∈Z,g(x)单

13、调递减的正值区间是〔kπ+,kπ+),k∈Z.∴当01时，函数f(x)的单调递增区间为(kπ-,kπ+〕，k∈Z.名师伴你行SANPINBOOK返回目录【评析】这类问题主要是向量与三角知识点的综合.解决问题的主要方法是:通过向量的运算把问题转化为三角问题,再利用三角函数的知识解决.名师伴你行SANPINBOOK＊对应演练＊已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.(1)若a⊥b,求θ;(2)求

14、a+b

15、的

16、最大值.返回目录名师伴你行SANPINBOOK(1)a⊥ba·b=0sinθ+cosθ=0θ=-.(2)

17、a+b

18、当sin(θ+)=1时，

19、a+b

20、有最大值,此时θ=,最大值为.返回目录名师伴你行SANPINBOOK返回目录如图4-4-1,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ取何值时BP·CQ的值最大?并求出这个最大值.【分析】解答本题的关键是要结合图形,利用向量的三角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向量的坐标形式来解答.考

21、点二向量在平面几何中的应用名师伴你行SANPINBOOK【解析】解法一:∵AB⊥AC，∴AB·AC=0.∵AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,∴BP·CQ=(AP-AB)·(AQ-AC)=AP·AQ-AP·AC-AB·AQ+AB·AC=-a2-AP·AC+AB·AP=-a2+AP·(AB-AC)=-a2+PQ·BC=-a2+a2cosθ，故当cosθ=1,即θ=0(PQ与BC的方向相同)时,BP·CQ最大,其最大值为0.返回目录名师伴你行SANPINBOOK返回目录解法二:以直角顶点

22、A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设

23、AB

24、=c,

25、AC

26、=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且

27、PQ

28、=2a,

29、BC

30、=a,设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y),∴BP·CQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.名师伴你行SANPINBOOK【评析】平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系