一维随机变量及其分布

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1、概率论与数理统计一、随机变量的定义二、分布函数的性质第一节一维随机变量及其分布(1)一、随机变量的定义1.随机变量的引入P(A):随机事件发生的概率。A可为数字、描述等，例如投骰子出现的点数、灯泡的产品寿命等。为了更好的研究试验结果,需要将随机试验的结果数量化,以便于数学上的推导和计算。为此建立了随机变量的概念。例1这样便把非数量的样本空间数量化了.若以数”1”表示正面,数”0”表示反面,那么我们就可以将试验结果与数值联系起来,即可以通过如下示性函数与数值发生联系.抛掷一枚均匀硬币,观察出现正面或是反面.={

2、1、2、3、4、5、6}由于样本点本身已经是数量表示,这时我们可以做即例2那么试验的所有可能结果即样本空间为抛掷骰子,观察出现的点数.一个恒等变换2.随机变量的定义定义2.1设E是随机试验，其样本空间为={}.若对于每一个样本点，都有唯一的实数值X()与之对应，则称定义在样本空间={}上的单值实函数X()为随机变量（r.v.），简记为X.作用：将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，从而可利用数学方法研究随机现象及其统计规律性。分类：离散型随机变量：X的取值有限或至多可列个。如古典概型、呼叫次

3、数等。连续型随机变量：X的取值为无限不可列个。如速度、候车时间、降水量等。1ºX的定义域是样本空间，而不一随机变量X与高等数学中的实函数定是实数集；2ºX的取值是随机的，它的每一个可3º随机变量是随机事件的数量化.即对于任意实数x,{X≤x}是随机事件.能取值都有一定的概率；4º对于随机变量,我们常常关心它的取值.注有本质的区别：二、分布函数及其性质如果我们对随机事件{X≤x}求概率,就引出为随机变量X的分布函数.1.分布函数的定义定义2.2称了随机变量分布函数的概念.记作X～F(x)或X～FX(x).2.分

4、布函数的性质(1)由于对于任意的为一概率,根据概率公理化定义,有证(4)的证明要用到较多的测度论的知识,注1º可以证明：一个函数若具有上述性质,则此函数一定是这里从略.某个随机变量的分布函数.2º重要公式例3解由分布函数的右连续性，得一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任解例4一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.于是故X的分布函数为内容小结1.随机变量是一个函数，是定义在样本空间上2.随机变量主要分为离散型和连续型。3.随机变量分布

5、函数的概念.的函数.4.分布函数的性质.再见思考题不同的随机变量,他们的分布函数一定不相同吗?解不一定.例如抛均匀硬币,令X1与X2在样本空间上对应法则不同,是两个不同的随机变量,但它们却有相同的分布函数.备用题例3-1设连续型随机变量X的分布函数为:求:(1)常系数A及B;(2)随机变量X落在(-1,1)内的概率.解(1)根据分布函数的性质可知依题意可得联立上面两个方程可以解得(2)随机变量X落在(-1,1)内的概率可以表示为例4-1抛掷均匀硬币求随机变量X的分布函数.解