多元函数的连续性(I)

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1、1.多元函数的连续性6-3多元函数的连续性定义设在点的一个邻域内有定义,若则称在点连续.多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,与函数的极限密切相关.用严格定义连续性.若在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一点都连续，则称在区域Ｄ内连续.上述不等式可以换成而所定义的连续性是彼此等价的.例1函数证而故有证毕.例2设解故k值不同极限不同!在(0,0)点不连续.2.关于二元函数连续性的几个定理定理1设与在点处连续，及在点处也连续．若则在点连续．定理２(复合函数的连续性)设在点附近内有定义,且在连续，又设在点的附近有定义,且在点连续，则复合函数在点连续．定理3二元初等函数在其定义域内是

2、连续的.二元初等函数如果它是从自变量x与y出发进行有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果.类似地可定义多元初等函数.３．映射的连续性如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称在Ｄ中连续．定义例3考虑映射一元连续函数在闭区间上的性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.４．有界闭区域上连续函数的性质在的边界点连续使得当时,有即首先定义f在边界点的连续性.定理４（有界性定理）设函数在有界闭区域上连续，则在上有界．即存在常数使换句话说，当P落在集合定理５最大(小)值定理设函数在有界闭区域上连续，则在上达到最大值和最小值．即存在点使定理６（介值定理）设函数在闭区域上连续

3、，并假定Ｍ与m分别是在上的最大值和最小值，则对于任意的一定有一点使得多元函数间断点多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.情形比较复杂例如函数其定义域为而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以园周上各点都是该函数的间断点.内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续