多元函数微分法及其应用(IV)

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1、高等数学（二）广东水利电力职业技术学院数学教学部张静华高等数学（二）第九章多元函数微分法及其应用第十章二重积分第十章三重积分第十一章曲线积分第十二章无穷级数第十一章曲面积分目录第一节多元函数基本的概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数求导法则第五节隐函数的求导公式第九章多元函数微分法及其应用第八节多元函数的极值及其求法区域通常可用含有点的坐标的一、多元函数的概念第一节多元函数的基本概念⒈平面区域所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边界的区域称为闭区域；一片的图形。所分边界的区域

2、称为半开区域。在平面上建立了直角坐标系后，一个或几个不等式来表示。xyo开区域（开圆）例如：不包含边界的区域称为开区域；只包含部xyo闭区域（闭圆）xyo开区域例1对于区域D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使D全部包含在这圆内，则称D为有界区域，否则称为无界区xyo半开区域例2域。。⒉邻域设是xOy平面上的一点，是某一正数，与点的距离小于的点所成的集合，称为点的邻域，记作在几何上，是xOy平面上以点为圆心，为半径的圆内的点所成的集合。x0y·x0y⒊二元函数的概念定义：设D是xOy面上的一个点集，对任意的点，变量z按照某个对应关系f总有唯

3、一确定的数值与之对应，则称z是x，y的二元函数，记为称x，y为自变量，z为因变量，点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。函数在点处的函数值，记为，，⒋二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数，它的定义域是使函数表达式有意义的点的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。例1：求下列函数的定义域并用图形表示⑴解：要使该函数的表达式有意义，必须有，即故所求函数的定义域是xyo2例1（1）⑵解：要使该函数的表达式有意义，必须有xyo12－1－2例1（2），

4、即⑶解：定义域为xyo例1（3）例2：⑴二元函数，则；⑵若，则.例3：设，求解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对f中的表达式作变量替换。令，则从而，所以例4：设，求解：首先应求出函数表达式求函数表达的另一个常用的方法是将等号右边的表达式用f中的表达式来表示。则⒋二元函数的几何意义设二元函数的定义域为D，对，空间中的点构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数的图象。xyz0xyMD··二、二元函数的极限定义：在点的某一去心邻域内有定义，是该邻域内的任意一点，沿任意路径无限趋近于点时，无限地趋近于一个确定的常数A，时，函数以A为极

5、限，记为或注意：⑴定义中的点时，是指点P可以沿任何方向、任何途径无限地趋近于，而一元函数极限中的是指x沿x轴无限趋近于；⑵如果点P只取某些特殊方式，函数值逼近某一确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点P沿不同方式趋于点时，函数值逼近不同的值，则极限不存在。设函数如果当点相应的函数值则称当例5：讨论二元函数当时的极限。解：由于例5练习：问是否存在？练习解：因为所以不存在。念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概叙述，仅在后面举例说明。说明三、二元函数的连续性定义：设二元函数在点的某一邻域

6、内有定义，如果则称函数在点连续。如果二元函数在区域D上的每一点都连续，则称函数在D上连续。区域D上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。二元函数连续函数的性质如果二元函数在有界闭区域D上连续，则该函数在D上一定能取到最大值和最小值。由常数、x或y的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。四、求二元函数极限的常用方法：例6⑴利用二元初等函数的连续性例6：求解：函数是初等函数，它的定义域是R2，根据初等函数的连续性知，函数在点处连续，因此⑵通过变量替

7、换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求原式例8：求解：解：，原式例7、8例9：求解：原式例9⑶若事先已肯定在点P0处极限存在，则可使P沿一殊途径趋于P0而求出其极限。例10：（A）e（B）0（C）y（D）1解：原式例10第二节偏导数一、偏导数的概念及其计算⒈偏导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，得到一个一元函数.若自变量x有增量，相应地函数z有关于x的增量（称为偏增量）如果存在，在点处对x的偏导数，或等四式中的某一式。固定则称此极限值为函数记作偏导数的定义同理，函数在点处对y的偏导数定义为记作或偏导数的定义（续1）如果函数在区域D内每一点

8、处对x的偏导数都存在，那么这样的偏导数是x、y的函数，称为函数对自变量x的偏导函数（简称偏导数），记作或类似地可以定义函数对自变量y的偏