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《复合函数与隐函数微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§7—3多元复合函数微分法一．多元复合函数微分法（多元复合函数求导法则）1．多元复合函数若z=f(u,v),u=(x,y),v=(x,y)，则称z为x,y的复合函数z=f[(x,y),(x,y)]例如：z=eu·sinvu=xyv=x+y则函数z=exy·sin(x+y)是x,y的复合函数推广：z=f(u,v,w),u=(x,y),v=(x,y)，w=(x,y)z=f[(x,y),(x,y),(x,y)]2.多元复合函数求导法则例1设z=eusinv而u=xy,v=x+y求和解：[注记]：例1的解法是将u,v代入f(u,v)，再按一元复合函数求导法则分别求，。以
2、下我们给出直接从函数f(u,v)的偏导数，及(x,y),(x,y)的偏导数，，，求，的公式。⑴定理（链式法则）：若①函数u=(x,y),v=(x,y)在点(x,y)有偏导数；②函数z=f(u,v)在对应点(u,v)可微。则复合函数z=f[(x,y),(x,y)]在点(x,y)有对x,y的偏导数，且﹡证明：设x：x→x+x；y不变则u：u→u+u；v：v→v+v进而z:z→z+z由于z=f(u,v)在(u,v)可微,即有z=dz+o()=上式除以x，得两端取极限（当x→0时），就得同理例1z=eusinvu=xyv=x+y解：注记：①②当则③当则④●式(3
3、)、(4)可以推广到有三个以上的中间变量、两个以上自变量的情形；●式(5)、(6)可以推广到有一个以上的中间变量、两个以上自变量的情形；●式(7)可以推广到有两个以上的中间变量的情形。例2求偏导数设z=eusinvu=x+yv=x-y则解：⑴求求解：设Q=f(u,v,w)u=xv=xyw=xyz则例3求导数⑴设求解⑵设解：例4设f(x,y)为k次齐次函数且可微，验证公式——齐次函数的Euler公式解：由已知得对求导，得上式对任意的≠0都成立，特别地当=1时也成立，即例5设，其中F可微，试证[注记]：求多元复合函数的偏导数应注意到：①必须严格分清自变量与中间变量，及其关系；②求
4、对某个自变量的偏导数时，应经过一切有关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结到自变量；③有几个中间变量，就应含有几项；有几次复合，每项就应有几个因子相乘。3．一阶全微分形式不变性对于z=f(x,y)（1）当x,y是自变量时,（2）当x,y是中间变量时，例如x=x(t,s),y=y(t,s)时(3)比较（*）和（**）知形式不变。§7—4隐函数微分法1．一个二元方程的情形设F(x,y)=0确定y=f(x)的导数则F[x,f(x)]=0例6求解：2．一个三元方程的情形设F(x,y,z)=0确定z=f(x,y)则例7确定z=f(x,y)求解：例8确定函数z=f(x,y)求解：令则
