初中数学三角形的“四心”例题讲解

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1、初中数学三角形的“四心”例题讲解知识点、重点、难点三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。1.外心三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC的外心通常用字母O表示。它具有如下性质：(1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径；(2)在△ABC中，若∠A是锐角，则∠BOC=2∠A；若∠A是钝角，则∠BOC＝360°－2∠A.2.内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC的内心一般用字母I表示．它具有如下性质：(

2、1)内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；(2)若I是△ABC的内心，则；(3)若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心。3.重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质：(1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；(2)若G是△ABC的重点，则；(3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质：(1)图中有六组四点共圆（如A、F、H、E；A、B、D、E等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特

3、别的AH·HD=BH·HE=CH·FH；(2)垂心H关于三边的对称点均在△ABC的外接圆上；(3)H、A、B、C中任一点是另三点连成的三角形的垂心；(4)△ABC的内接三角形（即顶点在△ABC的边上）中，以垂足△DEF的周长最短。例题精讲例1：如图，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆。分析一连结AO、CO、PO、QO，要证O、A、P、Q四点共圆，显然只要证∠P=∠Q.在△AQO和△CPO中，由AB=AC，BQ=AP，得AQ＝CP，又O点是△ABC的外心，故OA＝OC，∠OCP＝∠OAC.由

4、于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以∠OAC＝∠OAQ.从而∠OCP＝∠OAQ，故△AQO≌△CPO，可得∠CPO＝∠AQO.因此O、A、P、Q四点共圆。分析二O是△ABC的外心，作△ABC的外接圆O，并作OH⊥AB于H，OG⊥AC于G，连结OP、OQ（图略）．易知OH＝OG，BH=AG，从而Rt△OQH≌Rt△OPG，于是∠P=∠Q，故O、P、A、Q四点共圆。第3/3页例2：已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于点F（如图241），求证：F是△CDE的内心。证明连结DF、DB、CF，则∠CDF=∠A=45°，∠

5、EDF=45°，即DF是∠CDE的平分线。因为CD=CB，所以∠CDB=∠CBD.又∠CDF=∠CBF=45°，所以∠FDB=∠FBD，所以DF=BF.又CF为公共边，所以△DCF≌△BCF，所以∠DCF=∠BCF，即CF为∠DCE的平分线。因此F为△CDE的内心。例3：如图，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圆分别为⊙O与⊙，求证：⊙O与⊙的半径相等。证明如图所示，过A作⊙和⊙O的直径AP、AQ，连结PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90°，故P、B、Q三点共线。因为H为△ABC的垂心，所以D、C、E、H四点共圆，所以∠AHE=∠C.又∠C

6、=∠Q，所以∠AHE=∠Q.因为A、H、B、P均在⊙上，所以∠AHE=∠P，所以∠P=∠Q，所以AP=AQ.所以⊙O与⊙的半径相等。例4：如图，直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，直线AP与⊙O半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB．证明如图，延长DO交⊙O于M，连结AM，延长DE交AM于N，则△OAM≌△OBD，有∠OAM=∠OBD，知AM∥BD，故∠PDB=∠DAN．因为AE＝EF，O为EF和DM的中点，则E为△ADM的重心，所以N为AM的中点。又AD⊥OD，即DN为Rt△ADN斜边AM的中线，则DN=AN=NM，则∠ADE=

7、∠DAN=∠PDB．例5：设O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，R和r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径，求证：（欧拉定理）第3/3页证明连AI交⊙O于D，连DO并延长交⊙O于E，连结BD、BE，连结OI，直线OI交外接圆于G、H(如图)．过I作IF⊥AB于F，则IF=r，DE=2R.由相交弦定理，AI·ID=GI·IH=(R＋OI)(R－OI)=．又∠BAD=∠BED，则△AIE∽△EDB，AI·BD=DE·IF=2Rr．由I是△ABC的内心，则ID=BD．于是AI·ID=AI·BD＝，2Rr=，即.例6：如图，设O、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂