计算机控制与仿真技术 杨立 第5章 系统仿真算法分析

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1、本章主要教学内容数值积分法的基本原理及其主要内容快速仿真算法的基本原理及其主要内容离散相似法的基本原理及其仿真应用线性系统的仿真方法非线性系统的仿真方法采样控制系统的仿真方法第5章系统仿真算法分析1本章教学目的及要求掌握数值积分法和快速仿真算法的原理及应用掌握离散相似法的原理应用熟悉线性系统、非线性系统、采样系统的仿真处理过程第5章系统仿真算法分析25.1数值积分法系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。设系统常微分方程为：（5-1）为包含有时间t和函数y的表达式，y0为函数y在初始时刻t0时的

2、对应初值。我们将求解方程（5-1）中函数的问题称为常微分方程数值求解问题。第5章系统仿真算法分析35.1.1欧拉（Euler）法1．欧拉公式的推导将式（5-1）在小区间上进行积分可得：第5章其几何意义是把在区间内的曲边面积用矩形面积近似代替，如图5-1所示。系统仿真算法分析4第5章系统仿真算法分析5当h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：第5章称之为欧拉公式。系统仿真算法分析62.欧拉法具备以下特点：（1）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为折线法。（2）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推就可以

3、求出后一点值，所以称为单步法。（3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。（4）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统的计算精度较低。第5章系统仿真算法分析75.1.2梯形法1．梯形公式为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图5-2所示。依然对式（5-1）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：第5章称为梯形积分公式。系统仿真算法分析8第5章系统仿真算法分析9从中可以看到，在计算时，其右端函数中也含有，这种公式称为隐

4、式公式，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即梯形法的预报—校正公式：第5章系统仿真算法分析102.梯形法具备以下特点：（1）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计算精度要高于欧拉法。（2）采用预报—校正公式，每求一个，计算量要比欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。（3）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。第5章系统仿真算法分析115.1.3龙格—库塔（R

5、unge—Kutta）法1．龙格—库塔公式二阶龙格—库塔公式：第5章系统仿真算法分析12第5章四阶龙格—库塔公式：系统仿真算法分析132.龙格－库塔法特点：（1）为单步法，并且可自启动。（2）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。（3）仿真计算量与仿真步长h的大小密切相关，h值越小计算精度越高，但所需仿真时间也就越长。（4）用泰勒级数展开龙格－库塔法计算公式时，只取h的一次项，即为欧拉法计算公式；若取到h2项，则为二阶龙格－库塔法计算公式；若取到h4项，则为四阶龙格－库塔法计算公式。第5章系统仿真算法分析14第5章5.1

6、.4数值积分公式的应用【例5.1】已知一阶系统的微分方程为：，初始条件，取仿真步长h=0.1，分别用欧拉法、梯形法和龙格—库塔法计算该系统仿真第一步的值。解：原方程可变为:即系统仿真算法分析15（1）用欧拉法计算根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该系统仿真第一步的值：第5章系统仿真算法分析16第5章（2）用梯形法计算：根据预报—校正公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。用预报公式求起始值：系统仿真算法分析17再用校正公式得到系统仿真第一步的值：第5章系统仿真算法分析18（3）用二阶龙格—库塔法

7、计算根据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值：第5章系统仿真算法分析19则系统仿真第一步的值为：第5章系统仿真算法分析20（4）用四阶龙格—库塔公式计算根据公式先计算出4个系数，再计算仿真第一步的值：第5章系统仿真算法分析21第5章系统仿真算法分析22则系统仿真第一步的值为：第5章系统仿真算法分析23从上述结果可以看出:对于同一个系统进行仿真计算时，其值的精度是随着数值积分公式的变化而改变的，其中欧拉法计算精度最低，其次为梯形法和二阶龙格—库塔法，四阶龙格—库塔法计算精度最高。第5章系统仿真算法分析245.1.5仿真精

8、度与系统稳定性1.仿真过程的误差（1）初始误差:现场采集数据不一定很准，会造成仿真过程中产生误差，称为初始误差。应对现场数据进行准确的检测，也可多次采集，以其平均值作为参考初始数据。（2）舍入误差:由于不同档次的计算机其计算结果的有效值不一致，导致仿真过程出现舍入误差。应选择挡次高的计算机