初中数学 第二十一章 一元二次方程(复习汇总)

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1、辅导宝典学员姓名：年级：辅导科目：学科教师：授课内容第二十一章一元二次方程授课日期教学内容Ⅰ.课前热身1、回顾一元一次方程的概念？2、有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？Ⅱ.教学目标1、了解一元二次方程及有关概念。2、掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。3、掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法。4、了解一元二次方程两个根与系数的关系（韦达定理）。Ⅲ.重点难点教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。2、用配方法、公式法、

2、因式分解法降次──解一元二次方程。3、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题。教学难点1、一元二次方程配方法解题。2、用公式法解一元二次方程时的讨论；用因式分解法的技巧。3、建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。12启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习Ⅳ.知识梳理考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。例如：2x2+2x-4=0（二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4）；4x2-4=0；3

3、x2+8x=0等等。【三种形式ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0)】一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0，b、c为实数，未限定范围）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，一定要符合一般形式格式，特别注意a的取值范围判定、分母是否含有未知数（分母含有未知数的方程是分式方程）。考点2：一元二次方程的解法1、直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0，注意b＜0则无实数根）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。x+a==-a+=-a-【（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，

4、a，b，c为常数）】12启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习2、配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b＜0，则原方程无解。3、公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的。一元二次方程的求根公式是(△=b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转

5、化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出△=b2－4ac的值，当△=b2－4ac≥0时代入求根公式，△=b2－4ac＜0时，则该方程无实数解。4、因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若a×b=0，则a=0或b=0或a=b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5、一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中

6、要注意，强调a≠0，因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解。⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4（因x＋4可能等于0，两边不能同时除于0，因此需要移项提取公因式进行计算）。⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般方法选用顺序是：开平方法→因式分解法→公式法。6、判断一元二次

7、方程解的情况⑴b2－4ac＞0方程有两个不相等的实数根；⑵b2－4ac=0方程有两个相等的实数根；⑶b2－4ac＜0方程没有实数根。12启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，x1+x2=—b/a，x1×x2=c/a。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如。韦达定理的应用：（1）已知方程的一个根，求另一个根和

8、未知系数（2）求与已知方程的两个根有关的代数式的值（x12+x22，1/x1+1/x2）（3）已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值（比如，两根的和或关于两根的二元一次方程，则需要建立二元一次方程组）（4）已知两数的和与积，求这两个数（5）已知方程的两