几类不同增长的函数模型(1)

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1、3.2.1几类不同增长的函数模型（1）课堂实录新课引入师：在初中，我们学习了一些类型的函数，如：生：一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等等进入高中，我们继续学习了三中基本初等函数，它们是：生：指数函数、对数函数、幂函数。师：函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，在很多地方我们都可以找到函数的影子，你能不能举出一些例子来？生：打的时应付的车费和里程的关系中蕴涵了一个分段函数的例子，班级里的人和自己的座位之间有一种对应关系等师：在我们面临一个实际问题时，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它？如果我们找到相应的数学模型后，又如何去研究它的性质？例题剖析例一：假设你有一笔资金用于投资

2、，现在有三种方案供你选择，这三种方案如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番；请问，你会选择那种投资方案？师：请学生阅读题目，并思考问题一：这里问如何选择投资方案，应从哪个方面考虑？生：应该从收益多少的角度来考虑师：问题二：每种方案中的回报效益与那些量有关系？能建立函数模型吗？每种方案建立的函数模型分别是：生：方案一y=40方案二y=10x方案三师：问题三：建立函数模型以后，应该选择那种方案呢？从哪个角度进行分析？提示：虽然得到了收益和时间的关系式，但是直接从关系式中要知道具体收益的多

3、少不容易，于是可以根据关系式把某些天的具体情况得到。师：用手持计算器计算一下三种方案所得回报的增长情况，填写下面的表格。生：分组合作，一个人操作手持计算器，一个人填表，完成下面的表格x元方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1      2      3      4      5      6      7      8      9      10      …      30      师：问题四：如何分析上面的表格，你得出什么结果？请同学回答生：从表格中可以知道，方案三到后面增加的很快，于是选择方案三师：问题五：我们知道，函数图象是分析问题的好帮手，

4、为了从总体上把握三个方案的的增长情况，利用手持计算器分别画出它们的图象来？对比得到的结果和前面的是否一致？分组合作，一个人操作计算器，一个人画图生：得到图象请小组讨论，并分析，回答用图象分析的结果和上面表格分析的结果是不是一致？生：由图象可知，选择方案三，和前面的结果一致。虽然方案三在起初的时候增加的比较缓慢，基本上看不到什么变化，但是在后面，它迅速的增加起来，越来越快。比方案一和方案二要快的多。于是选择方案三师：我们看到在经过了一段时间的积累以后，指数函数模型会剧烈的增加起来，象是要爆炸一样。我们把呈指数函数模型增长的情况叫做指数爆炸。师：问题六：如果我们进行是短时间的投资，又该如何

5、选择？生；看收益情况。师：该从那里开始分析？生：由于是短时间的收益情况，我们可以把每种方案短时间内的收益做成一个表格，通过表格来分析。师；给出表格请学生分析后，给出结果。例二：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：，其中哪个模型能符合公司的要求？师：问题一：根据问题要求，奖金数y应满足那几个要求？生：两个要求，第一，总数不超过5万元第二，不超过利润的25%师：问题二：销售人员

6、获得奖励，其销售利润x的取值范围大致如何？生：10----1000万元之间师：问题三：确定三个模型中哪个能满足题目的要求？该如何确定？生：比较三个函数模型，看哪个模型中当利润在10-----1000之间时，奖金数符合前面的两个要求师：请同学们在手持计算器上面画出三个模型的函数图象，同时为了满足第一个要求，需要多画出y=5的图象来师：从图象上我们可以得到什么结论？生：根据刚才分析，可以看出模型中，奖金总数将会超过5万元，不选这个模型，同时也会超过5，也不选择它师：回答的很好，为了更清楚的说明问题，我们还需要计算一下，请同学们计算，上面两种函数，分别在x为多少时超过5学生计算并回答师：从图

7、象上我们看到模型中奖金没有超过5万元，那么此模型就一定满足题目的要求吗？生：还要看奖金有没有超过利润的25%，可以根据，也就是得到。。。。。。。然后学生发现无法进行下去了师：这是一个超越不等式，现在大家没有办法解，不过我们的手持计算器功能强大，如果我们建立一个函数：，可以画出图象观察生：画图象分析，从图象上可以看出，该函数是一个减函数，并且函数值小于0于是知道成立，该模型符合要求。由于时间关系，练习2没有讲完，留作思考。