现代物流运筹学 沈家骅 24320第7章对 策 论

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1、第7章对策论学习目标了解对策模型中的基本要素，矩阵对策（两人有限零和对策）的纯策略，矩阵对策的混合策略。掌握求解矩阵对策的方法。•对策论也称做博弈论。•这实际上是当事人面对一定的信息量寻求最佳行动和最优策略的问题。•对策论不仅已经成为主流经济学的一部分，而且正在对经济学理论与方法产生越来越重要的影响。•在对策行为中，参加竞争的各方具有不同的目标和利益。•为了达到各自的目标，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，力图选取对自己最有利的策略。对策模型的基本要素7.1矩阵对策（两人有限零和对策）7.2求解矩阵对策的方法7.3对策模型的应用案例7.47.1对策模型的基本要素1．局中人•在一个对策

2、行为中，有权决定自己行动方案的对策参加者被称为局中人。•一般要求一个对策中至少有两个局中人。•局中人的集合用字母I表示。2．策略•一局对策中，每个局中人都有供他选择的实际可行的完整的行动方案。•此方案不是某一步的行动方案，而是指导自始至终如何行动的一个方案。•局中人的一个可行的自始至终通盘筹划的行动方案，称为这个局中人的一个策略；而这个局中人的策略全体，称做这个局中人的策略集合。3．局势集合•在对策过程中，从每个局中人的策略集合中各取一个策略，所组成的策略组称为“局势”，可能产生的各种局势的全体，称为局势集合。•局势集合用字母表示。4．收益函数•一局对策结束之后，对每个局中人来说，不外乎是

3、胜利或失败、名次的前后以及其他物质的收入或支出等，这些统称为“得失”或“益损”。•所以用数学语言来说，一局对策结束时，每个局中人的“得失”是全体局中人所取定的一组策略的函数，通常称之为“收益函数”。•在最终局势下，局中人k∈I的收益函数记做H（k,）。7.2矩阵对策（两人有限零和对策）•两人有限零和对策也称为矩阵对策。•在这种对策中，只有两个局中人，每个局中人各有有限个可供选择的策略。•在每个对局中，两个局中人独立地选择一个策略（互相都不知道对方的策略），而两人的收益总和（“得失”相加）为零。•由于局中人双方的利益是相互冲突的，因此双方不存在合作的可能，所以矩阵对策又称为有限对抗对策。7

4、.2.1矩阵对策（两人有限零和对策）的表示7.2.2矩阵对策（两人有限零和对策）的纯策略7.2.3矩阵对策的混合策略7.3.求解矩阵对策的方法•求解矩阵对策的方法很多，有图解法、拉格朗日乘数法、方程组法和线性规划法等。•本节给出最常用的求解矩阵对策的方法—图解法和线性规划法。7.3.1图解法•例7.6设有对策矩阵，其中矩阵中的元素表示局中人Ⅰ的得分，即试求出每个局中人的最优策略及其对策值。•解我们知道，在上面对策中，局中人Ⅰ有2种策略，局中人Ⅱ有3种策略。•假定p是局中人Ⅰ选取第1行的概率，那么1 −p是他选取第2行的概率。•下面依据p来计算局中人Ⅰ的期望收益值。•如果局中人Ⅱ选择第1列，那

5、么局中人Ⅰ的期望收益值等于4p− 1(1 −p)，即E1= 5p−1（直线①）•同样，若局中人Ⅱ选择第2列和第3列，则局中人Ⅰ的期望收益值分别为E1=4 −5p（直线②）E1=2−2p（直线③）•以E1为纵轴、p为横轴，做出直线①、直线②和直线③，如图7.1所示。图7.1例7.6最优策略选择示意图•例7.7给定下列对策矩阵：•其中矩阵中的元素表示局中人Ⅰ的得分，试求出每个局中人的最优策略，并问其对策值是多少？•解这里，局中人Ⅱ有两种策略，令q为他选择第一列的概率，而1 −q便是他选择第二列的概率；因此，局中人Ⅱ的期望得分E1分别为E1= −2q+ 2(1 −q),E1= −q+(1 −q)E

6、1=2q,E1= 3q−(1 −q)E1= 4q−2(1q)•化简得E1= −4q+2（图7.2中直线①），E1= −2q+1（图7.2中直线②）E1=2q（图7.2中直线③），E1= 4q−1（图7.2中直线④）E1= 6q−2（图7.2中直线⑤）•然后，作出这5个方程的直线图，如图7.2所示。图7.2例7.6最优策略选择示意图7.3.2线性规划法•对于一般的矩阵对策问题，可以用线性规划法来进行求解，因为这种方法可以求解任意矩阵对策。•例7.8利用线性规划方法求解下述矩阵对策，其收益矩阵为•解上述问题可化成两个互为对偶的线性规划问题，即•上述线性规划的解为•故对策问题的解为7.4对策模型

7、的应用案型•例7.9两个竞争对手A公司和B公司，都计划在某一个城市增加产品的销售点，地点可选择安排在城市中心或城市郊区。•如果两个对手都决定在城市中心建销售点，那么每年A公司产品的利润要比B公司产品的利润多1 000元；如果两个公司都决定在城市郊区建销售点，那么A公司产品的利润要比B公司产品的利润少2 000元；如果A公司安排在城市郊区，而B公司安排在城市中心，那么A公司的利润要比B公司的利润多4 000元；