现代物流运筹学 沈家骅 24320第1章线性规划图解法

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1、第1章线性规划图解法学习目标通过介绍几个简单的实际问题，建立线性规划模型。应用图解法，培养和提高学生分析问题、解决实际问题的能力。培养优化思想，能用一定的数学方法实现优化。•在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。•此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划（LinearProgramming，LP）则是数学规划的一个重要分支。•自从1947年G.B.Dantzig提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上日趋成熟，在实际应用中日益广泛与深入。•特别是在计算机能处理成

2、千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。线性规划及其数学模型1.1线性规划的图解法1.21.1线性规划及其数学模型1.1.1案例•例1.1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4 000元与3 000元。•生产甲机床需用A、B两种机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各1小时。•若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润

3、最大？•例1.2有A、B、C三个工地，每天A工地需要水泥17百袋，B工地需要水泥18百袋，C工地需要水泥15百袋。•为此，甲、乙两个水泥厂每天生产23百袋水泥和27百袋水泥专门供应3个工地。•两个水泥厂至工地的单位运价如表1.2所示。•问：如何组织调运使总运费最省。•解设xij为甲、乙两个水泥厂分别运到A、B、C3个工地的水泥袋数，则可以得出如表1.3所示的数据表。•由题意容易得到如下数学模型：（1-3）•其中，min是英文minimize（最小化）的缩写。•例1.3光明厂生产中需要某种混合料，它应包含甲、乙、丙3种成分。•这些成分可由市

4、场购买的A、B、C 3种原料混合后得到。•已知各种原料的单价、成分含量以及各种成分每月的最低需求量如表1.4所示。•解现设x1、x2、x3为原料A、B、C的购买数量，因为x1、x2、x3≥0，设z为总的耗费资金，则minz= 6x1+ 3x2+ 2x3。•由题意容易得到如下数学模型：minz=6x1+3x2+2x3（1-4）•例1.4一家昼夜服务的饭店，一天24小时分成6个时段，每个时段需要的服务员数如表1.5所示。•每个服务员每天连续工作8小时，且在每个时段开始时上班。•问：最少需要多少名服务员？试建立该问题的线性规划模型。•解现设xj

5、为第j时段开始上班工作的服务员数（j= 1,2,3,4,5,6），又设z为服务员总的人数。•由题意得到如下数学模型：（1-5）1.1.2线性规划的一般数学模型•线性规划模型的目标是企业利润的最大化。•在不考虑产品销售情况的理想状态下，将资源尽可能地配置到利润率更高的产品上去，并尽可能减少资源的浪费，是实现线性规划模型总目标的关键所在。•一般线性规划模型可以表示如下：（1-6）（1-7）•建立一个实用的线性规划模型必须明确以下四个组成部分的含义：•第一，决策变量。•决策变量是模型中的可控而未知的因素，经常使用带不同下标的英文字母表示不同的变

6、量，如式（1-7）中的xj。•第二，目标函数。•线性规划模型的目标是求系统目标的极值，可以是求极大值，如企业的利润和效率等，也可以是求极小值，如成本和费用等。•式（1-6）即为最优化目标函数，简称目标函数。•式中opt即optimize（最优化）的缩写，根据问题要求不同，可以表示为max（最大化）或min（最小化）。•第三，约束条件。•约束条件是指实现系统目标的限制性因素，通常表现为生产力约束、原材料约束、能源约束、库存约束等资源性约束，也有可能表现为指标约束和需求约束，如式（1-7）中的前m个式子。•第四，非负限制。•由于在生产实际问题

7、中，资源总是代表一些可以计量的实物或人力，因而一般不能是负数，如式（1-7）中的最后一个式子。•由式（1-6）和式（1-7）两式组成的线性规划模型还可以用下列的矩阵式表示，即1.2线性规划的图解法•上一节列举了四个把实际问题构造成线性规划数学模型的例子，初步解决了模型构造问题。•如何求解数学模型以获得问题的最优解自然成为了本节关心的焦点。•从简单到复杂、从具体到抽象是人类认识客观事物的一般过程，首先讨论用图解法解决只包含两个变量的线性规划问题正是尊重人类认识规律的具体体现。•虽然在实际问题中，只有两个决策变量的小问题是很少见的，但图解法能

8、揭示线性规划问题解的一些基本概念，并为解决大规模线性规划问题提供原则性的指导。•例1.5用图解法求解线性规划问题：（目标函数）s.t.（约束条件）•解第一步，构造平面直角坐标系（由于决策变量非