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1、2013年1月工科数学分析试题(A)解答一.(10分)1.用语言叙述“极限”的定义.2.根据数列极限的定义证明:解1如果对每个,存在,当时,就有,那么称是数列的极限,记做.证2任取.根据平均值不等式,.因此,,.为使左端小于,只需右端,即.因此,如果选,那么当时,.证毕.二.(15分)1.求极限.2.求极限.3.求极限.解1用表示所给的数列,那么根据Stolz法则,.因此,.另一种方法根据平均值不等式,,所以,.解2所给极限可化为.后一个因式的极限为.所以,原极限为解3根据定积分的保序性,.4三.(20分)设函数(1)证明是有界函数.(2)分析函数在哪些区间上单
2、调增,在哪些区间上单调减.(3)求的极值.(4)求函数的上确界和下确界．证(1).因此,结论(1)成立.解(2)在区间内,求导数,令,得.得到.于是,因此,函数在区间上单调增,在上单调减.解(3)根据(2)的结果,函数在点处取得极大值,解(4)因为,而,所以另外,从单调性可以看出,函数在点处取得最大值,所以四.(20分)1.设,求导数.2.设函数由下列参数方程定义,.求一阶导数和二阶导数.3.求不定积分．4.求定积分.解1设中间变量,那么,所以解2根据参变量求导法,4.解3原积分可以化为最后这个积分可化为.因此,.解4所给的定积分可化为五.(10分)1.设函数在
3、区间上有界.对这个函数叙述定积分的定义.2.求极限.解1分割把区间任意分割成有限个子区间的并:.(7.1.1)用表示第个子区间的长度:.用表示各个子区间长度的最大值,假定采样在每个子区间上,任取样点,求出函数在样点上的值,乘以相应子区间的长度,得到乘积值.求和把这些数值相加,得到和数.求极限当时,如果和数的极限存在,并且极限值与区间的分割方式无关,与样点的选取也无关,就把这个极限称为在区间上的定积分,记做.这时,就说函数在区间上是可积的.解2在所给的和数中,对各被加项的分子、分母同除以,就得到.现在,在区间上考虑函数4.把区间等分,取各子区间的右端点为样点,那么
4、积分和数就是上述和数,而函数是连续的,所以,根据定积分的定义,六.(10分)证明不等式:如果都是正数,并且,那么.证考虑对数函数.这个函数的导数为,所以,是区间内的凹函数.因此,,即.在这个不等式的两边取指数,就得到要证明的不等式.证毕.七.(10分)设函数在区间上有连续的导函数,并且,证明:.证对左端的积分应用分部积分法,就得到于是,根据柯西不等式,就得到.八.(5分)1.求积分.2.证明不等式:.解1根据三角函数的积分的特点,就得到.证2根据三角函数的积分的特点,不等式的左端项可化为.另外,根据柯西不等式,.把这些关系式联立,就得到要证的不等式.4
