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1、平面向量(学生专用)专题六平面向量一.基本知识【1】向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量（2）向量的加法：设，则+==①；②向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以
2、表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=（6）平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第9页平面向量(学生专用)（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。
3、（2）平面向量的坐标运算：①若，则②若，则③若=(x,y)，则=(x,y)④若，则⑤若，则⑥若，则【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定（2）向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影（3）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：（5）乘法公式成立：；（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：第9页平面向量(学生专用)特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不
4、成立不能得到（3）=0不能得到=或=（7）两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=（8）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（9）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥（10）两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质一.例题分析【模块一】向量的基本运算【例1】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则③在平行四边形ABCD中一定有；④若，则；
5、⑤若//，//,则//⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量，且，则⑧的充要条件是且//；⑨若与方向相同，且，则；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第9页平面向量(学生专用)【例2】已知向量夹角为，且；求的值.【变式1】若，，求的值.【变式2】设向量a，b满足
6、a
7、=
8、b
9、=1及
10、3a-2b
11、=3，求
12、3a+b
13、的值【例3】已知向量、的夹角为，，，若，求的值.【例4】若向量，求与的夹角.【变式】设R,向量,且,则（ ）A．B．C．D．10【例5】已知两个非零向量满足，则下列结论一定正确的是（）A//BCD【变式1】
14、设a,b是两个非零向量.（ ）A．若
15、a+b
16、=
17、a
18、-
19、b
20、,则a⊥bB．若a⊥b,则
21、a+b
22、=
23、a
24、-
25、b
26、C．若
27、a+b
28、=
29、a
30、-
31、b
32、,则存在实数λ,使得a=λb第9页平面向量(学生专用)D．若存在实数λ,使得a=λb,则
33、a+b
34、=
35、a
36、-
37、b
38、【变式2】若平面向量满足:;则的最小值是【例6】设，，（1）证明；（2）当时求角的值.【例7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是（ ）A．B．C．D．且【模块二】向量与平面几何【例1】在△ABC中，,设P、Q满足，，，则=（）ABCD第9页平面向量(学生专用)【变式1】已知△ABC为
39、等边三角形，设P、Q满足，，，则=（）ABCD【例2】在△ABC中,AB=2,AC=3,=1则.（ ）A．B．C．D．【变式1】若向量,,则（ ）A．B．C．D．【例3】若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.第9页平面向量(学生专用)【例4】中,边上的高为,若,则（ ）A．B．C．D．【例5】在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是（ ）A．B．C．D．【例6】在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.【例7】在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.
40、若M、N分别是边BC、CD上的点,且满
