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《R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换摘要：本文分别给出了一维和n维的Fourier变换的定义，并较系统的给出了Fourier变换分别在一维和n维的性质。并讨论了Fourier变换在一维和n维中的区别和联系。关键词：R1上的Fourier变换Rn上的Fourier变换一、引言在数学中常用变换的方法来简化问题或运算，如在线性代数中的坐标变换；在积分中的变量代换使积分运算化简；在复变函数论中的保角变换，可使复杂的区域变换为较简单的区域，使某些问题容易解决。由此可见，变换的思想是数学中简化问题的常用方法。其中，积分变换的理论和方法是简化
2、问题的一种重要而有效的数学方法，它不仅应用于许多数学分支，而且在物理与工程技术上都有广泛的应用，特别在自动控制和电信技术上，积分变换是分析问题的重要而有效的手段。积分变换就是通过积分的方法，把一个函数变换为另一个函数。最常用的积分变换有傅里叶(Fourier)变换与拉普拉斯(laplace)变换。本文着重讨论了傅里叶变换分别在一维和n维的定义和性质，以及它们之间的区别与联系。二、正文2.1R1上的Fourier变换的定义对定义在区间(-∞,+∞)上的实自变量t的函数f(t)，乘以e-iαt，然后对t由-∞到+∞积分。若此广义积分收敛，则此积分确定
3、了一个实变数α的复值函数F(α)，即Fα=-∞+∞f(t)e-iαtdt（2.1.1）这样，式（2.1.1）中的积分给出了函数f(t)与另一个函数Fα的对应规律，这种对应规律叫积分变换。这里的积分变换，称作Fourier变换，用记号F{f(t)}表示。即Fft=Fα=-∞+∞f(t)e-iαtdt。函数Fα称为函数f(t)的像函数，或称为函数f(t)的傅里叶变换的结果，也简称为f(t)的傅里叶变换。反之，我们称f(t)为Fα的像原函数或傅里叶逆变换。Fα的逆变换用记号F-1ft表示，所以由（2.1.1）式有ft=F-1ft=12π-∞+∞F(α)
4、eiαtdα（2.1.2）9/9对于定义在[0,+∞)上的单侧函数f(t)，可以把f(t)延拓为(-∞,+∞)上的偶函数或奇函数，从而使其满足傅里叶积分定理的条件，则有以下结论：当f(t)延拓为(-∞,+∞)上的偶函数时，有Fft=Fcα=20+∞f(t)cosαtdt（2.1.3）称为Fourier余弦变换。其相应的逆变换为ft=1π0+∞F(α)cosαtdα（2.1.4）当f(t)延拓为(-∞,+∞)上的奇函数时，有Fft=Fsα=20+∞f(t)sinαtdt（2.1.5）称为Fourier正弦变换。其相应的逆变换为ft=1π0+∞F(α
5、)sinαtdα（2.1.6）特别地，当函数f(t)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数时，其对应的Fourier变换为Fft=Fcα（2.1.7）当f(t)为定义在(-∞,+∞)上的奇函数时，其对应的Fourier变换为Fft=-iFsα（2.1.8）2.2R1上的Fourier变换的性质2.2.1线性性质设f1(t)与f2(t)为任意的两个函数，a、b为任意常数，则Faf1t+bf2(t)=aFf1t}+bF{f2(t)（2.2.1）2.2.2对称性若Fft=F(α)，则作为t的函数F(t)的像函数为2πf(-α)，即FFt=2πf(-α)（2.
6、2.2）2.2.3相似性设Fft=Fα，b≠0，则Ffbt=1bF(αb)（2.2.3）特别，取b=-1，就得翻转公式9/9Ff-t=F(-α)（2.2.4）2.2.4位移性质1、平移后的像函数设Fft=Fα，t0为实常数，则Fft-t0=e-it0αF(α)（2.2.5）2、像函数的平移设Fft=Fα，λ为实常数，则Ffteiλt=Fα-λ（2.2.6）2.2.5微分性质1、导数的像函数设f连续且在(-∞,+∞)上分段光滑,lim
7、t
8、→∞ft=0，则当f和f'为绝对可积时，有Ff‘t=iαF{f(t)}（2.2.7）如果f和它的前n-1阶导数
9、连续，第n阶导数分段连续，f及其直到n阶导数都绝对可积，并且当
10、t
11、→∞时f和它的前n-1阶导数都趋于零，则Ff(n)t=(iα)nF{f(t)}n=0,1,2,⋯（2.2.8）2、像函数的导数设Fft=Fα，则ddαFα=-iFtft（2.2.9）一般地有dndαnFα=(-i)nFtnftn=0,1,2,⋯（2.2.10）2.2.6积分性质若t的函数-∞tf(u)du满足傅里叶积分定理的条件，则F-∞tfudu=1iαF(α)（2.2.11）2.2.7卷积与卷积定理9/9含参变量t的积分-∞+∞f1uf2(t-u)du是t的函数，称作函数f1
12、t与f2t的卷积函数，简称卷积，记作f1t*f2(t)，即f1t*f2t=-∞+∞f1uf2(t-u)du（2.2.12）容易验证卷积满
