12.2正项级数

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1、《数学分析》教案第十二章数项级数§2正项级数教学目标：掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．教学内容：比较判别法；比式判别法；根式判别法；积分判别法．(1)基本要求：掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．(2)较高要求：介绍拉贝判别法．教学建议：(1)要求学生必须理解和掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法，要布置足量的习题．(2)对较好学生可要求掌握拉贝判别法，可挑选适量的习题．（3）由于这方面内容与反常积分的部分内容有类似之处，可向学生作比较与总结．教学过程：一、正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相

2、同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。定理12.2.1正项级数收敛部分和数列有界。证明：由于对，，故是递增的，因此，有收敛收敛有界。定理12-2-2（比较原则）设和均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对都有，则（1）若级数收敛，则级数也收敛；5《数学分析》教案第十二章数项级数（2）若级数发散，则级数也发散。证明：由定义及定理12-2-1即可得。例1、考察的收敛性。解：由于当时，有，因正项级数收敛，故收敛。推论（比较判别法的极限形式）设和是两个正项级数，若，则（1）当时，级数、

3、同时收敛或同时发散；（2）当且级数收敛时，级数也收敛；（3）当且发散时，级数也发散。证明：由比较原则即可得。例2、讨论级数的收敛性。解：利用级数的收敛性，由推论可知级数收敛。例3、由级数的发散性，可知级数是发散的。二、比式判别法和根式判别法定理12.2.3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设为正项级数，且存在某个正整数及常数：5《数学分析》教案第十二章数项级数（1）若对，有，则级数收敛；（2）若对，有，则级数发散。证明：（1）不妨设对一切，有成立，于是，有，，。故，即，由于，当时，级数收敛，由比较原则，可知级数收敛。（2）因此时，故级数发散。推论（比式判别法的极限形式）设为正

4、项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。证明：由比式判别法和极限定义即可得。例4、讨论级数的收敛性。例5、讨论级数的收敛性。定理12.2.4（柯西判别法，或称根式判别法）设为正项级数，且存在某个正整数及正常数，（1）若对，有，则级数收敛；5《数学分析》教案第十二章数项级数（2）若对，有，则级数发散。证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式）设为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。例6、讨论级数的敛散性。解：由上推论即

5、得。说明：因这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。三、积分判别法特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。定理12-9设为[上非负减函数，则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。证明：由假设为[上非负减函数，则对任何正数A，在[1，A]上可积，从而有，依次相加，得若反常积分收敛，则对，有。于是，知级数收敛。5《数学分析》教案第十二章数项级数反之，若级数收敛，则对任意正整数，有。又因为[上非负减函数，故对任何，有,。故知，反常积分收敛。同理可证

6、它们同时发散。例7、讨论下列级数（1），（2），（3）的敛散性。作业：P16：1，2，3，4，5，6，7，8，9．5