空间向量第二讲

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1、江苏省书人教育培训中心2012春季班高二理科数学第2讲高二理科数学第二讲空间向量知识要点：1.直线的方向向量的定义为。如何求直线的方向向量？2.平面的法向量的定义为。如何求平面的法向量？3.法向量的应用ABCα（1）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则A到平面α的距离为；（2）用法向量求二面角αβ如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（3）法向量求直线与平面

2、所成的角要求直线与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线的夹角的余弦，易知θ=或者。基础训练1.已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1,－1,5)为空间三点.（1）以，为边的平行四边形的面积等于；（2）若n分别与，垂直，且

3、n

4、＝,则向量n的坐标为.2.在正方体AC1中，棱长为2，P,Q分别是BC,CD上的动点，且（1）确定P,Q的位置，使得;A1B1C1D1ABCDExyz（2）当时，求二面角C1-PQ-A的大小.热点考点题型探析题型1：异面直线所成的角例1、已知正方体ABCD－A1

5、B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则、，，，，，，6江苏省书人教育培训中心2012春季班高二理科数学第2讲，，，。不难证明为平面BC1D的法向量，∵。∴D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为。反思归纳：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。题型2：直线与平面所成的角例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在

6、平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G()，GDDA1C1B1CBKxyzAE∵，，，∴a＝1，，∵为平面ABD的法向量，且。∴A1B与平面ABD所成角的余弦值是。反思归纳：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。题型3：二面角ADBCPA1B1C1QD1（2012

7、年江苏南京一检）如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.6江苏省书人教育培训中心2012春季班高二理科数学第2讲(1)试确定、两点的位置.(2)求二面角大小的余弦值.22.解:(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,设,则,,,∵,∴，∴，解得……………………………4分∴PC=1,CQ=1,即分别为中点…………………………………………………………5分(2)设平面的法向量为，∵,又，∴，令，则,………………………………………………8分∵为面的一个法向量,∴,而二面角为钝角,故余弦值为……10分

8、练习：（2012泰州一摸）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，,.(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.5.解：取AC中点O,因为AB=BC，所以,∵平面⊥平面平面平面=AC,∴平面PAC∴…………………………1′以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0

9、,1),……………………2′∴设平面PBC的法向量，6江苏省书人教育培训中心2012春季班高二理科数学第2讲由得方程组，取…………………………3′∴∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。…………………………4′（2）由题意平面PAC的法向量，…………………………5′设平面PAM的法向量为∵又因为∴取，…………………………7′∴∴∴或（舍去）∴B点到AM的最小值为垂直距离。…………………………10′题型4：综合题（2011江苏高考）22.（本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面

10、角的大小为。（1）当时，求的长；（2）当时，求的长。解析：以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，6江苏省书人教育培训中心2012春季班高二理科数学第2讲建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0))，设M(0，1,z),面MDN的法向量，设面A1DN的法向量为，则取即(1)由题意：取（2）由题意：即取课后练习1.（教材题改编）在棱长为4的正方体体AB