第二章向量组和向量空间

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1、第二章向量组和向量空间教学安排说明章节题目：§2.1维向量及其线性运算；§2.2向量组的线性相关性；§2.3向量组的秩学时分配：共6学时。§2.1维向量及其线性运算2学时§2.2向量组的线性相关性2学时§2.3向量组的秩2学时本章教学目的与要求：：目的：使学生掌握向量的线性运算及线性相关性的判定，为下一章理解线性方程组解的结构打基础。要求：1、理解维向量的概念和运算。2、深刻理解向量的线性组合、向量组线性相关与线性无关的概念（本章的难点）。3、深刻理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念。会求向量组的秩和极大无关组（本章的难点）。4

2、、掌握向量组线性相关性的判定课堂教学方案课程名称：§2.1维向量及其线性运算授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量的定义及其线性运算满足的规律，掌握向量内积、夹角、正交等概念教学重点、难点：重点是向量内积、夹角、正交等概念教学内容§2.1维向量及其线性运算一、维向量的概念定义1所谓一个维向量就是由个数组成的有序数组(1)称为向量(1)的第分量.通常用小写希腊字母来代表向量.向量通常是写成一行：.有时也可以写成一列：.为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.分量全

3、为零的向量称为零向量，记为0全体维实向量的集合记作例1线性方程组中的每一个方程都可以用一个维向量表示例2、例3见教材二、向量的线性运算如果维向量的对应分量都相等，即.就称这两个向量是相等的，记作.1.向量的加法定义2已知向量，向量称为向量的和，记为2.数乘向量定义3设为数，向量称为向量与数的数量乘积，记为向量称为向量的负向量，记为.3.向量的减法已知向量，定义向量称为向量的减法，记为1.向量的转置称为向量的转置，记作或显然向量的运算满足以下运算规律交换律：.(2)结合律：.(3).(4).(5),(6),(7),(8).(9)(6

4、)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：,(10),(11).(12)如果，那么.(13)补充例题例1．计算（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）．例2．证明：如果a（2，1，3）+b（0,1,2）+c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a=b=c=0．三、向量的内积定义4在中,设向量,称实数为向量的内积，记作向量的内积具有以下性质：1）[]=[]；2）；3）[]=；4）定义5非负实数称为向量的长度，记作显然

5、向量的长度满足非负性、齐次性和三角形法则。向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零。长度为1的向量叫做单位向量.如果,，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使.命题1设向量，则有，且等号成立当且仅当两向量对应分量成比例定义6非零向量的夹角规定为定义7如果向量的内积为零，即，那么称为正交或互相垂直，记为.两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.只有零向量才与自己正交.课后作业P561；2；3课堂教学方案课程名称：

6、§2.2向量组的线性相关性授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容§2.2向量组的线性相关性一、向量组的线性组合定义8向量称为向量组的一个线性组合，如果有数，使,其中叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.例4设，则再如，任一个维向量都是下面向量组的一个线性组合.向量称为维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.例5设是向量组之中的一个向量

7、，证明是向量组的一个线性组合例6证明是向量组的一个线性组合，则也是向量组的一个线性组合。例7判断是否是的线性组合？例8判断是否是的线性组合？命题2如果可由向量组线性表出，而中每一个向量可以经向量组线性表出，那么可由线性表出.二、线性相关定义10设向量组（m≥2），如果其中存在一个向量是其余m-1个向量的线性组合，则称向量组线性相关定理1向量组（m≥2）线性相关的充分必要条件是存在不全为零的数，使如果当且仅当=0时上式成立，则称向量组线性无关。定义设向量组（m≥2），如果存在不全为零的数，使那么称向量组（m≥2）线性相关，否则称线性

8、无关。从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线性相关的几何意义就是它