第二讲：空间坐标向量

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1、第二讲：空间向量的坐标运算一：基础知识归纳考点一、空间坐标系的建立：①如果空间的一个基底的三个基本向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{}表示；②在空间选一点O和一个单位正交基底{}，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．这样我们就建立了—个空间直角坐标系O—xyz，其中点O叫原点，向量都叫坐标向量，经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面，yOz平面。③空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O—xyz时，一般使用∠xOy＝135

2、o，∠yOz＝90o。在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称此坐标系为右手直角坐标系，一般使用的坐标系都是右手直角坐标系。④空间向量的坐标表示为＝，则有序数组(a1，a2，a3)叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作＝(a1，a2，a3)。⑤在空间直角坐标系O—xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若＝，则有序数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标，写点的坐标时，三

3、个坐标之间的顺序不可颠倒。考点二、空间向量的坐标运算：设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则①+＝(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；-＝(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；②λ＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；③•＝a1b1+a2b2+a3b3；④//a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)；⑤⊥a1b1+a2b2+a3b3=0；⑥=⑦cos<,>=⑧两点间距离公式：若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=（x2-x1，y2-y1，z2-z1），

4、

5、=或dAB=⑨向量与

6、平面垂直的定义：如果表示向量的有向线段AB所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为⊥α．此时，向量叫平面α的法向量．二：典例归类例1、已知向量＝(4，-2，-4)，＝(6，-3，2)，求•，，，（2+3）•（-2）例2、若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)①求∙的夹角②若(k+)∥(－3)，求实数k的值；③若(k+)⊥(－3)，求实数k的值；④若取得最小值，求实数k的值．.牛刀小试1．下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．2．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．B．C．或D．或3．若A，B，C，则

7、△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．若向量，则__________________。5．已知向量，若，则______；若则______。例3、如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．xyzB1C1A1CBAMN(1)求BM的长；(2)求的值；(3)求证：．例4、如图，在长方体ABCD—A1B1ClDl中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CDl的中点，AD＝AAl＝a，AB＝2a，求证：MN

8、

9、平面ADDlAl牛刀

10、小试1、在正方体中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()A．B．C．D．EABCDA1D1C1B1GF2、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点，（Ⅰ）求证：EF⊥CF；（Ⅱ）求与所成的角的余弦值；（Ⅲ）求CE的长。3、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB，交PB于点F．证明：PB⊥平面EFD．4、如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.AAl＝2AD(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；

11、(Ⅱ)求异面直线BC1与AC所成角的大小.5、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA1＝4，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．