计算机控制技术-8能控和能观标准型

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1、第三节SISO系统状态空间表达式的能控和能观标准型能控标准型（第一、第二能控标准型）能观标准型（第一、第二能观标准型）2021/7/261标准型：在一组特定的基底下，状态空间表达式所具有的某种特定形式。能控标准型：状态反馈系统设计能观测标准型：状态观测器的设计前提：线性非奇异变换，不改变系统能控性和能观测性n维线性定常系统如果状态完全能控，必有：一、能控标准型上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所谓能控标准型，就是指系统在上述基底下所具有的标准形式。要使列向量取法唯一，则r=1。

2、故能控标准型仅讨论SI系统。对于MI系统，由于线性无关的列向量取法不唯一，导致其能控标准型不是唯一的。2021/7/262第二能控标准型（常用能控标准型式）其中：定理2：如果单输入线性定常系统：状态完全能控，将状态方程化为第二能控标准型：则存在线性非奇异变换：选取原则：以能控判别阵列向量的组合为基底，化A为友矩阵2021/7/263非奇异变换阵为：是相乘的结果2021/7/264推导目的：要得出如果令：即要求：则要推导出：2021/7/265推导过程：令由列向量的线性组合组成，此时这些向量仍然是列线性无关的。变换阵取法如下：其中：（1）写成矩阵形式有：2

3、021/7/266根据式（1）有：所以，写成矩阵形式，就是我们在推导目的中所说的：2021/7/2672021/7/268所以故由，可得欲使上式成立，必须有：由推导过程的（1）式知道：而：2021/7/269定理2说明：2）只有系统是状态完全能控时，才能写成第二能控标准型。在求系统的第二能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。3）当传递函数阵没有零极点相约时，和是系统传递函数分母和分子多项式系数。直接得到第二能控标准型。1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数2021/7/2610[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态

4、方程化为第二能控标准型。注意：非特别标明，能控标准型指的是第二能控标准型。[解]：1）判断系统能控性2021/7/26112）计算特征多项式3）计算变换阵，并化为第二能控标准型2021/7/2612[例]：写出以下传递函数的第二能控标准型。[解]：无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。所以：第二能控标准型为：2021/7/26131、第一能观测标准型（对偶于第一能控标准型）选取原则：直接以能观测判别阵的逆为基底定理3：如果单输出线性定常系统：状态完全能观，则存在线性非奇异变换：将状态方程化为第一能观测标准型：其中：非奇异变换阵为：2021/7

5、/2614证明思路：用对偶原理证明，第一能观测标准型，就是其对偶系统的第一能控标准型。以下两系统互为对偶系统：其中：的第一能控标准型为：2021/7/2615根据对偶原理，的第一能控标准型就是的第一能观测标准型根据对偶关系，的第一能控标准型为：注：变换阵互为转置逆：2021/7/2616定理3说明：2）只有系统是状态完全能观测时，才能写成能观测标准型。所以，在求系统的能观测标准型时，首先要判断系统的能观测性，不能观测则不能写成能观测标准型。3）将系统化为第一能观测标准型的非奇异变换矩阵，就是能观测性判别矩阵Qo的逆。1）其中是系统的不变量，即特征多项式的

6、系数4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异矩阵互为转置逆。2021/7/26172、第二能观测标准型（常用能观测标准型）定理4：如果单输出线性定常系统：状态能观测,将状态方程化为第二能观测标准型：则存在线性非奇异变换：以能观测判别矩阵行向量的组合为基底，对偶于第二能控标准型其中：2021/7/2618非奇异变换阵为：证明思路：仍然用对偶原理证明，第二能观测标准型，就是其对偶系统的第二能控标准型。将代入上式，即可得到。2021/7/2619定理4说明：2）只有系统状态完全能观时，才能写成能观测标准型3）当传递函数阵没有零极点相约时，和分别

7、是系统传递函数阵分母和分子多项式的系数。1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异变换阵互为转置逆。2021/7/2620[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为第二能观测标准型。注意：非特别标明，能观测标准型指第二能观测标准型[解]：1）判断系统能观测性2021/7/26213）计算变换阵，并化为第二能观测标准型2）计算特征多项式2021/7/2622[例]：写出以下传递函数的第二能观测标准型。[解]：无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。所以：第二能观测标准型为：20

8、21/7/2623[本节小结]：1、SI系统的能控标准型1）化标准型的条件：状态