能控规范形和能观规范形

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1、Ch.4线性系统的能控性和能观性目录(1/1)目录概述4.1线性连续系统的能控性4.2线性连续系统的能观性4.3线性定常离散系统的能控性和能观性4.4对偶性原理4.5线性系统的结构性分解和零极点相消4.6能控规范形和能观规范形4.7实现问题4.8Matlab问题本章小结能控规范形和能观规范形(1/3)4.6能控规范形和能观规范形由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。约旦规范形(对角线规范形)就是以系

2、统的特征向量为其状态空间基底所导出的规范形。从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。能控规范形和能观规范形(2/3)下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。讨论的主要问题:基本定义:能控规范I/II形、能观规范I/II形旺纳姆能控规范II形龙伯格能控规范II形基本方法:能控规范形和能观规范形的变换方法能控规范形和能观规范

3、形(3/3)讲授顺序为:能控规范形能观规范形MIMO系统的能控能观规范形。则称该状态空间模型为能控规范I形（A为友矩阵的转置）。能控规范形(1/16)—能控规范形定义4.6.1能控规范形定义若SISO系统的状态空间模型为且系统矩阵A和输入矩阵B分别为设A的特征多项式能控规范形(2/16)—能控规范形定义若系统矩阵A和输入矩阵B分别为则称该状态空间模型为能控规范II形（A为友矩阵）。设A的特征多项式能控规范形(3/16)上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。下面讨论如下两个问题:能控

4、规范形一定是状态完全能控和一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。即能控性矩阵的秩都为n。故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。能控规范形(4/16)能控规范形一定是状态完全能控?由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如下能控性矩阵:能控规范形(5/16)由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控,因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控

5、规范I形和II型的定理。定理4-24对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩阵Tc1如下Tc1=Qc=[BAB…An-1B]是非奇异的。那么必存在一线性变换,能将上述状态方程变换成能控规范I形:能控规范形(6/16)--能控规范I形定理其中系统矩阵和输入矩阵如能控规范I形所定义的。证明若取变换矩阵Tc1=Qc,则由能控规范形(7/16)--能控规范I形定理有因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有能控规范形(8/16)--能控规范I形定理即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成能控规范I形。定

6、理4-25对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变换矩阵Tc2如下式中，T1=[0…01][BAB…An-1B]-1=[0…01]Qc-1那么必存在一线性变换,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形:其中系统矩阵和输入矩阵如能控规范II形所定义的。能控规范形(10/16)证明证明的思路为:先构造变换矩阵P的逆为行向量组成利用变换关系A~=P-1AP,确定P-1的行之间的关系利用变换关系B~=P-1B,最后确定确定P-1证明过程为:设变换矩阵Tc2的逆阵为能控规范形(11/16)则由，可得代入友矩阵,则有即能控

7、规范形(12/16)因此,有Ti=T1Ai-1i=2,3,…,n即能控性变换矩阵Tc2为能控规范形(13/16)下面讨论T1的计算。由求转置,并代入向量,考虑到对SISO系统T1AiB为标量,则有即T1=[0…01][BAB…An-1B]-1是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。能控规范形(14/16)—例4-19由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。例4-19试求如下系统的能控规范I和II形:解系统的能控性矩阵能控规范形(15/16)(2)求能控规范I形。根据定理

8、4-24,系统变换矩阵可取为因此,经变换后所得的能控规范I形的状态方程为能控规范形(16/16)(2)求能控规范II形。计算变换矩阵先求变换矩阵。根据定理4-25,有T1=[01][BAB]-1=[1/21/2]则变换矩阵Tc2可取为因此,经变换后所得的能控规范II形的状态方程为能观规范形(1/9)—能观规范形定义4