圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版

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1、圆锥曲线的综合问题（一）最新考纲　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离.(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次

2、方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·＝·

7、y1－y2

8、＝·.例题精讲（考点分析）考点一　直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切

9、，求直线l的方程.解　(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，又点P(0，1)在曲线C1上，∴＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得或所

10、以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.规律方法　研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.解　(1)设点M(x，y)，依题意

11、MF

12、＝

13、x

14、＋1，∴＝

15、x

16、＋1，化简得y2＝2(

17、x

18、＋x)，

19、故轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)；C2：y＝0(x＜0).依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.②当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(ⅰ)若由②③解得k＜－1，或k＞.所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直

20、线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若即解集为∅.综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.考点二　弦长问题【例2】(2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得

21、PT

22、2＝λ

23、PA

24、·

25、PB

26、，并求λ的值.(1)解　由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①方

27、程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).(2)证明　由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，由方程组可得所以P点坐标为.

28、PT

29、2＝m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，由Δ>0，解得－