(最新)第6章无限集合

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1、在第三章中，我们把基数简单地看作集合元素的个数，这对于有限集来说是没有问题的，但对于无限集而言，“元素的个数”这个概念是没有意义的。那么两个集合的“大小”相同的确切含义是什么呢？第6章无限集合6.1集合的势定义6.1设有集合A，B，如果存在一个双射f：A→B，则说集合A和B有相同的基数，记作

2、A

3、＝

4、B

5、，或者说A与B等势，记作A~B。如果A，B是有限集合，则A~B当且仅当A和B中元素的个数相等。由定义知，要证明两集合A和B等势，只要找到一个函数f：A→B，使f是双射即可。【例6.1】已知自然数集N和集合M＝｛x

6、x＝10n∧n∈N｝，证明N~M。证明定义函数f：N→M，f(n)＝10

7、n。显然f是满射。任取n1，n2∈N，且n1≠n2，若f(n1)＝f(n2)，则f(n1)－f(n2)＝10n1－10n2＝10(n1－n2)＝0即n1＝n2，这与题设矛盾。所以f是单射。综上N～M。【例6.2】已知自然数集N和整数集I，试证N～I。证明定义函数f：N→I，(n为偶数)(n为奇数)则两集合N和I的元素有以下对应关系1234567…01-12-23-3…任取i∈I，若i＞0，则有n＝2i∈N，使若i＝0，则有n＝1∈N，且使若i＜0，则有n＝1-2i∈N，使所以f是满射。若有n1，n2∈N，且n1≠n2,使f(n1)＝f(n2)。假设n1，n2同为偶数，则所以n1＝n2，

8、矛盾。假设n1，n2同为奇数，所以n1＝n2，也矛盾。假设n1，n2一奇一偶，不失一般性，设n1为偶，n2为奇，有n1＋n2＝1。而n1，n2≥1，所以n1＋n2≠1，矛盾。因此任取n1，n2∈N，n1≠n2时,必有f(n1)≠f(n2)，即f是单射。综上N~I。定义6.2若集合A与集合Nn＝｛1，2，…，n｝等势,则称集合A是有限集，且说A的基数

9、A

10、＝n，否则称A为无限集。无限集和有限集的本质区别由下面两个定理指出。定理6.1一个有限集合不能与其任一真子集等势。定理6.2任一无限集必与其某个真子集等势。例如，在例１中MN，但M～N；在例２中NI，但N～I。定义6.3不能与其任一

11、真子集等势的集合叫做有限集，能与某一真子集等势的集合叫做无限集。6.2可数集在无限集中最基本的是与自然数集N等势的集合。定义6.4如果集合A～N，则称A是可列集，其基数记为и0（读作“阿列夫零”）,通常有限集和可列集称为可数集，不是可数集的无限集合称为不可数集。定理6.3集合A是可列集iffA的全部元素可以排成一个无穷序列a1，a2，…，an，…的形式。必要性：若A可列,则有双射f：N→A。令an＝f(n)，则A可写成a1，a2，…，an，…的形式。充分性：若A可排成a1，a2，…，an，…的形式，则将A的元素an与自然数下标n对应，即有双射f：A→N为f＝｛(an，n)

12、an∈A∧n

13、∈N｝所以A可列。该定理说明，一个能用自然数编号的无限集是可列集。定理6.4(1)任何无限集必含有可列子集。(2)可列集的无限子集仍为可列集。(3)有限个可列集的并集仍是可列集。证明(1)设A为无限集，则A≠，在A中任取一元素作为a1，因为A－｛a1｝≠，则可在集合A－｛a1｝中任取一元素作为a2。因为A无限，所以A－｛a1，a2｝≠，又可在集合A－｛a1，a2｝中任取一元素作为a3。因为A无限，所以这种取法可以无限地继续下去。按取出元素的先后次序得到集合A*为A*＝｛a1，a2，a3，…｝A由定理6.3知，A*可列。证明（2）设S是可列集，S中的元素可以排成：a0,a1

14、,a2,a3,a4,…，设B是S的任一无限子集，它的元素也是S的元素，并且一定可以排成：a0k,a1k,a2k,a3k,a4k,…,所以B是可列集。证明（3）设S1={a0,a1,a2,a3,a4,…},S2={b0,b1,b2,b3,b4,…}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0,b0,a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,…，所以S1∪S2={a0,b0,a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,…}是可列集。同理推广有限个可列集的并集是可列集。定义6.5集合R1＝｛x

15、x∈R∧0＜x＜1｝的基数称为连续基数，记为и（读作“阿列夫”）。定

16、理6.5实数集的子集［0，1］区间是不可数集。证明用反证法证明。设［0，1］为可数集{a0,a1,a2,a3,a4,…}。由于［0，1］中实数均可表示为十进制无限小数（对于有限小数均可以写成以“9”为循环节的无限循环小数形式（数0例外，0表示为0.000…，1表示为0．999…，0.87=0.86999…），因此［0，1］中实数可如下列出：a00.x00x01x02x03…a10.x10x11x12x13…a20.x20x21x22x23…