最新第12章-集合的基数PPT课件.ppt

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1、第12章-集合的基数12.2集合的等势定义12.2.1对集合A和B，如果存在从A到B的双射函数，就称A和B等势，记作A≈B如果不存在从A到B的双射函数，就称A和B不等势，记作¬A≈B注意：证明等势即构造双射?等势是等价关系，可以用来分类?自反性：A≈AIA:A→A双射?对称性：若A≈B，则B≈Af:A→B双射⇒f-1:B→A双射?传递性：若A≈B且B≈C，则A≈Cf:A→B,g:B→C双射⇒gof:A→C双射集合的等势例1N≈N偶，N≈N奇f:N→N偶,f(n)=2n；g:N→N奇,g(n)=2n+1例2Z≈N.f:Z→N,0,n=0f(n)=2n,n

2、>02

3、n

4、-1,n<0例3N≈N×N.(课本中图11.1.1)f:N×N→N,f()=(i+j)(i+j+1)/2+iP(A)≈A2证明:令f:P(A)→A2,f(B)=χB,其中χB是B∈P(A)的特征函数,χB:A→{0,1},χB(x)=1⇔x∈B.(1)f是单射,设B1,B2⊆A且B1≠B2,则f(B1)=χB1(x)≠χB2(x)=f(B2),故χB1≠χB2.(2)f是满射.任给χB:A→{0,1},令B={x

5、x∈A且χB(x)=1}⊆A,则f(B)=χB集合的等势定理12.2.3(Cantor康托尔定理)(1)¬N≈R(2)

6、对任意的集合A,¬A≈P(A)证明:(1)(反证)假设N≈R≈[0,1],则存在f:N→[0,1]双射,对∀n∈N,令f(n)=xn+1,于是ran(f)=[0,1]={x1,x2,x3,…,xn,…}将xi表示成如下小数:¬N≈Rx1=0.a11a21a31……x2=0.a12a22a32……x3=0.a13a23a33……┇xn=0.a1na2na3n……┇其中0≤aji≤9,i,j=1,2,…¬N≈R选一个[0,1]中的小数x=0.b1b2b3……使得(1)0≤bj≤9,i=1,2,…(2)bn≠ann(3)对x也注意表示的唯一性由x的构造可知,

7、x∈[0,1],x∉{x1,x2,x3,…,xn,…}(x与xn在第n位上不同).这与[0,1]={x1,x2,x3,…,xn,…}矛盾!¬N≈R对角化方法x1=0.a11a21a31……x2=0.a12a22a32……x3=0.a13a23a33……┇xn=0.a1na2na3n……ann…┇(2)对任意的集合A,¬A≈P(A)证明:(反证)假设存在双射f:A→P(A),令B={x

8、x∈A∧x∉f(x)}则B∈P(A).由f是双射,设f(b)=B,则b∈B⇔b∉f(b)⇔b∉B,矛盾!12.3有限集合与无限集合自然数定义对任意的集合A,可以定义集合A

9、+=A∪{A},把A+称为A的后继,A称为A+的前驱集合0=∅是一个自然数。若集合n是一个自然数，则集合n+1=n+也是一个自然数列出自然数0=∅1=0+=0∪{0}={0}2=1+=1∪{1}={0,1}3=2+=2∪{2}={0,1,2}…有限集合与无限集合定义12.3.1集合A是有限集合，当且仅当存在n∈N,使n≈A.集合A是无限集合，当且仅当A不是有限集合，即不存在n∈N,使n≈A.结论?不存在与自己真子集等势的自然数(鸽巢原理)?不存在与自己真子集等势的有限集合?任何与自己真子集等势的集合是无限集合.例N,R?任何有限集合只与唯一的自然数等势

10、12.4集合的基数集合的基数就是集合中元素的个数定义9.6.1如果存在n∈N，使集合A与集合{x

11、x∈N∧x

12、A

13、=n或card(A)=n空集Φ的基数是0定义9.6.2如果存在n∈N，使n是集合A的基数．就说A是有限集合．如果不存在这样的n，就说A是无限集合集合的基数对任意的集合A和B，它们的基数分别用card(A)和card(B)表示，并且card(A)=card(B)⇔A≈B对有限集合A和n∈N,若A≈n,则card(A)=n(有限基数)N的基数：card(N

14、)=ℵ0(无限基数)R的基数：card(R)=ℵ1(无限基数)基数的运算对任意的基数k和l,若存在集合K和L,card(K)=k,card(L)=l,则(1)若K⋂L=∅,k+l=card(K⋃L)(2)k·l=card(K×L)(3)kl=card(LK),其中LK是从L到K的函数的集合?对集合K,L,P,M,如果K≈P且L≈M,则K×L≈P×M且LK≈MP.如果同时成立K⋂L=∅且P⋂M=∅,则K⋃L≈P⋃M基数的运算例7k0=card(∅K)=card({∅})=10k=card(K∅)=card(∅)=000=card(∅∅)=card({∅}

15、)=1例8对任意集合A,有card(P(A))=2card(A)基数的运算例9对任意的n∈N,