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《离散数学—无限集合(11.15版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章无限集合5.1可数和不可数集合5.2基数的比较5.3基数算术（了解）无限集合如何计数？偶数的个数比自然数的个数少。（）（五年级）20世纪著名数学家希尔伯特(D.Hilbert)——没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感,很少有别的观念能像无穷那样激励理智、产生富有成果的思想,然而也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明。康托被誉为对20世纪数学发展的影响最深的学者之一，他的研究就是从查点集合中元素数目开始的，而其独创性在于对无限集合（自然数集、整数集等）的研究。康托发现人们在计数时应用了一一对应的方法，并由此把“无穷的各种关系弄得完全明朗。”5.1可数和不可数集合5.1.1有
2、限和无限集合定义5.1-1N的初始段是前n个(包括0个)自然数的集合{0,1,…,n-1}或N自身。定义5.1-2如果有从N的初始段{0,1,…,n-1}到A的双射函数,那么集合A是有限的,具有基数n∈N。如果集合A不是有限的,那么它是无限的。定理5.1-1自然数集合N是无限的。证为了证明N不是有限的,我们必须证明没有n∈N使从{0,1,2,…,n-1}到N的双射函数存在。设n是N的任意元素,f是任意从{0,1,…,n-1}到N的函数,令k=1+max｛f(0),f(1),…,f(n-1)｝那么k∈N,但对每一x∈{0,1,2,…,n-1},f(x)≠k。这说明,f不是一个满射函数,所以f不
3、是一个双射函数。因为n和f都是任意选取的,我们得出N是无限的。证毕。定理5.1-2有限集合的每一子集是有限的。推论5.1-2设S是T的子集,如果S是无限集,那么T是无限集。5.1.2可数集合度量集合大小的数叫基数或势。为确定有限集的大小,我们把称作N的初始段的集合{0,1,…,n-1}作为“标准集合”,用双射函数做工具,对它们进行比较。当且仅当从{0,1,2,…,n-1}到集合A存在一双射函数时,称集合A具有基数n,记为
4、A
5、=n,记为
6、A
7、=n,这就是日常生活中的数数的概念。5.1.2可数集合把Z中的元素按如下顺序排列0，-1，1，-2，2，-3，3，-4，4，……让上面的每个元素与它的序
8、号对应就建立了一个从Z到N的一一映射。是否说明Z与N的元素个数相同？某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，，……我们不妨管它叫无穷旅馆。有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。这是怎么回事呢？第二天又来
9、了五对夫妇旅游度假。无穷饭店能不能接待他们？可以，老板聪明了，只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。第三天，无穷旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。你想到了吗？运用了一一对应的方法：第一天让住第n间房的人搬到第n+1间房：23456……n……34567……n+1……这样就空出了第1间房；第二天让住第n间房的人搬到第n+6间房，这样就空出了5间房；第三天呢？她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这
10、样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。5.1.2可数集合度
11、量集合大小的数叫基数或势。为确定有限集的大小,我们把称作N的初始段的集合{0,1,…,n-1}作为“标准集合”,用双射函数做工具,对它们进行比较。当且仅当从{0,1,2,…,n-1}到集合A存在一双射函数时,称集合A具有基数n,记为
12、A
13、=n,记为
14、A
15、=n,这就是日常生活中的数数的概念。现在我们将这种想法加以推广。通过选取一些新的“标准集合”,建立无限集合的基数的概念。定义5.1-3如果存在一个从N到A的双
