有限元分析与应用——第二讲

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1、有限元分析及应用FiniteElementAnalysisandApplication机械科学与工程学院:胡于进教授CollegeofMechanicalScienceandEngineering4/3/2004MSE胡于进第二章弹性力学简介2-1材料力学与弹性力学2-2应力的概念2-3位移及应变，几何方程，刚体位移2-4应力应变关系，物理方程2-5虚功原理及虚功方程2-6两种平面问题4/3/2004MSE胡于进2-1材料力学与弹性力学有限单元法—本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的

2、预备知识。4/3/2004MSE胡于进弹性力学—区别与联系—材料力学1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。2-1材料力学与弹性力学4/3/2004MSE胡于进弹性力学—区别与联系—材料力学3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用

3、了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。4/3/2004MSE胡于进材料力学—区别与联系—弹性力学xqyxs图2-1axqyxs0图2-1b4/3/2004MSE胡于进材料力学—区别与联系—弹性力学xqyxs图2-2aysxqyys图2-2bqy=sxsxsq图

4、2-2c4/3/2004MSE胡于进材料力学—区别与联系—弹性力学图2-3a图2-3b4/3/2004MSE胡于进弹性力学—区别与联系—材料力学总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：4/3/2004MSE胡于进弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部

5、被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。4/3/2004MSE胡于进弹性力学中关于材料性质的假定(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的

6、物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。4/3/2004MSE胡于进2-2应力的概念作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。体力，是分布于物

7、体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。4/3/2004MSE胡于进2-2应力的概念弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力剪应力图2-4每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行4/3/2004MSE胡于进2-2应力的概念为了表明这个正应