第六章 常微分方程 -例题与练习

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1、§6例题与练习1(一)可分离变量的方程:(1)分离变量;(2)两端积分-------隐式通解.解法:(分离变量法)一.基本概念：微分方程；微分方程的阶;微分方程的解；通解;初始条件;特解;常微分方程；线性微分方程；常系数线性微分方程；线性相关,可分离变量的方程；线性无关;齐次线性方程非齐次线性方程;特征方程,特征根.二.基本公式和方法:回顾本章知识内容22.线性非齐次方程1.齐次的方程解法:常数变易法通解为:(三).一阶线性方程（二）齐次方程解法作变换3解法特点型型解法代入原方程,得特点型解法代入原方程,得(四)可降阶的高阶微分方程解法；降阶法接连积分n次，得通解

2、.4(五)二阶线性微分方程解的性质(六)二阶常系数齐次微分方程解法:特征方程法5(七)二阶常系数非齐次线性微分方程解法待定系数法6基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;二阶常系数线性方程解的结构二阶常系数线性齐次方程的解f(x)的形式及二阶常系数非齐次线性方程的解二阶方程待定系数法特征方程法本章主要内容7例1.求微分方程的通解.解:分离变量两边积分因∴另解:(特征方程法)因为所对应的特征方程为r+1=0,特征根r=-1,∴为所求通解.解三:代公式8例2.求微分方程的通解.解一:齐次方

3、程的通解为因该方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为又因为恰是特征单根故设特解为代入原方程得∴∴所求通解为9解二:该方程对应的齐次方程的通解为因为该方程的自由项f(x)=sinx为的虚部∴可设辅助方程※由于恰是特征方程特征单根∴设为※的一个特解.将其代入※整理得即∴10∴为方程的一个特解∴所求通解为注意:三.作业P11