第七章 常微分方程 例题

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1、第七章常微分方程例题1.设f(x)在(0,+∞)上连续，且x0xftdt=(x+1)0xtftdt，求f(x)。2.一池塘至多养1000条鱼，最开始有100条。三个月后有250条，设任意时刻t，鱼的数。量为y（理解为连续变量），鱼的数量的增长率与y(1000-y)成正比，求一年后鱼的数量。3.求方程x+x2+y2dy=ydx的通解。10第七章常微分方程例题1.设f(x)在[0,+∞)上连续，a为正常数，求方程y’+ay=f(x)满足y(0)=0的解y(x)，又设

2、f(x)

3、≤k（k为常数），证明当x≥0时有

4、y(x)

5、≤ka(1-e-ax)。2.设y=f(x)

6、是连接A(0,1)，B(1,0)的一段上凸的曲线，P(x,y)为该曲线上任一点。已知曲线y=f(x)的弦AP围成图形的面积为x3，求f(x)。3.设曲线位于第一象限内，曲线上任一点M处的切线与y轴交于A点。已知

7、MA

8、=

9、OA

10、，且曲线经过(3/2,3/2)，求此曲线方程。10第七章常微分方程例题1.通过变换X=x+a，Y=y+b化简方程dydx=y-x+1y+x+5，并求该方程的通解。2.求方程dydx=y-x+1y+x+5的通解。3.求方程(x-2xy-y2)dy+y2dx=0的通解。10第七章常微分方程例题1.求方程y3x2+xyy’=1的通解。2.求方

11、程x2y”=y’2+2xy‘的通解。3.求方程y"=sinycosy满足y(0)=π/2，y’’(0)=-1的特解。10第七章常微分方程例题1.在上半平面内求一条凹的曲线，使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点处的法线段PQ长度的倒数（Q为法线与x轴的交点）且曲线在(1,1)处的切线与x轴平行，求此曲线。2.设y”+3y’+2y=g(x),g(x)=x+1e-xx≥0x+1e-2xx<0且y(0)=1，y’(0)=1，求特解。3.设方程y”+3y’+2y=g(x),g(x)=0x≥0xx<0且y(1)=1/e，y’(1)=-1/e，求特解。10第七章

12、常微分方程例题1.设方程xy”+2y’=-sinx的通解。2.设方程x2y”-xy’=cos⁡(lnx)的通解。3.设方程x2y”-xy’+y=cos⁡(lnx)的通解。10第七章常微分方程例题1.设f(x)为连续函数，且满足f(x)=sinx-0xuf(x-u)du，求f(x)。2.设曲线y=y(x)二阶可导（x≥0），且y’(x)>0，y(0)=1，过曲线上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴围成的三角形面积记为S1，区间[0,x]上以y=y(x)为为曲边的曲边梯形的面积记为S2，已知2S1-S2=1，求y(x)。3.一无盖容器的

13、底是半径为4的圆，侧面由yox面的一条曲线y=f(z)(0≤z≤h)绕z轴旋转所得旋转曲面构成，现以3cm3/s的流量将水注入，要求液面面积的增长率为πcm2/s，求f(z)。10第七章常微分方程例题1.用比重为ρ的均匀材料修建一高为h，顶面半径为a的旋转体形状的桥墩，已知桥墩的顶面所受的压力为定值P，并要求桥墩的每一个水平截面上所受的压强相等，问该桥墩的侧面应由怎样的曲线旋转而成。2.质量为M0(g)的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，其以m(g/s)的速率减少，设阻力与v成正比（比例常数k>0），v(0)=0，求v(t)。3.从船上向海中沉放某种探测仪器，按

14、要求需要确定下沉深度y与下沉速度v的关系，在重力作用下，仪器从海平面静止开始铅直下沉，受到阻力浮力，阻力与v成正比（比例系数k>0）仪器质量为m，体积为B，海水比重为ρ，求y=y(v)。10第七章常微分方程例题1.某湖泊的水量为v，每年排入湖中含污染物A的污水量为v/6，不含A的水量为v/6，流出湖泊的水量为v/3，已知1999年底湖中A的含量为5m。从2000年起限定排入湖中的含A的污水浓度不超过m/v，问至多经过多少年，湖中A的含量可降至m以内（设水均匀流入并迅速与湖水混合均匀）。2.一车间容量为1000m3，空气中CO2的浓度为0.1%，现将新鲜空气（C

15、O2含量为0.01%）输入车间迅速混合均匀的相同流量排出，问每分钟至少输入多少新鲜空气，才能在10分钟以后，使车间内CO2的浓度不超过0.04%。3.内容内盛有50kg含10%的酒精溶液，现含量50%的酒精溶液以4kg/min注入迅速搅拌均匀以5kg/min流出，问25min后容器内酒精含量，何时容器内酒精含量最大。10第七章常微分方程例题1.设有一圆锥形容器，第半径为R，高为H顶端有一面积为a的小孔，铅直向下，容器内盛满水，水的流速v=k2gh，h为液面高度问全部水流完需多少时间。2.一弹性系数为k的弹簧下挂质量为m的物体达到平衡，现将重物向下拉长a突然放开

16、，弹簧开始振动，求物体位移x与时间t的