7-第七章-常微分方程1

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1、第七章常微分方程试验常微分方程数值解方法向量场雨箭图绘制方法1/28一、数值方法求常微分方程yfty(,)yt()y00命令：[T,Y]=ode23('F',Tspan,y0)这里，Tspan=[tt]是常微分方程求解区域，y0是初始值，0，N‘F’是包括函数文件名字的符串。[T,Y]是求解区域内离散数据以及对应的数值解。步骤：(1)用函数文件定义一阶微分方程(或方程组)右端函数；(2)用MATLAB命令ode23()求数值解或绘积分曲线。2/28例7.1马尔萨斯模型以1994年我国人口为12亿为

2、初值，求解常微分方程。分析：N(t)表示人口数量,取人口变化率r=0.015,微分方程18dN0.015Ndt16N(1994)1214121990199520002005201020152020functionz=fun1(t,N)编辑窗口z=0.015*N;命令窗口ode23('fun1',[1994,2020],12)[T,N]=ode23('fun1',[1994,2020],12)3/28例7.2捕食者与被捕食者问题海岛上有狐狸和野兔,当野兔数量增多时，狐狸捕食野兔导致狐群数量增长;大量兔子被捕食使狐群

3、进入饥饿状态其数量下降;狐群数量下降导致兔子被捕食机会减少,兔群数量回升。微分方程模型如下dxx0.015xyx(0)100dt,dyy(0)20y0.01xydt计算x(t)，y(t)当t∈[0，20]时的数据。绘图并分析捕食者和被捕食者的数量变化规律。4/28%创建MATLAB的函数文件functionz=fox(t,y)z(1,:)=y(1)-0.015*y(1)*y(2);z(2,:)=-y(2)+0.01*y(1)*y(2);%求微分方程数值解并绘解函数图形Y0=[100,2

4、0];[t,Y]=ode23('fox',[0,20],Y0);x=Y(:,1);y=Y(:,2);figure(1)plot(t,x,'b',t,y,'r')figure(2)plot(x,y)5/28-------兔子数量-------狐狸数量兔、狐数量变化相位图6/28例7.3蝴蝶效应数学家洛伦兹在一次讲演中将大气环流数据对初值的敏感性形象地解释为“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，会引起德克萨斯州一场龙卷风”。洛伦兹微分方程模型如下dxxyzdtdy(yz),t[0,8]0dtd

5、zxyyzdt若b=8/3，s=10，r=28，初值x(0)=0，y(0)=0，z(0)=0.01时，计算当t∈[0，80]时洛伦兹方程的数值解，并绘出相空间在y-x平面的投影曲线。7/28[T,Y]=ode23(‘myfun’,[0,80],[0,0,0.01]);x=Y(:,1);y=Y(:,2);z=Y(:,3);figure(1),plot(t,x,’r’,t,y,’b’,t,z,’g’);figure(2),plot(y,x)functionu=myfun(t,y)u(1,:)=-8/3*y(

6、1)+y(2)*y(3);u(2,:)=-10*y(2)+10*y(3);u(3,:)=-y(1)*y(2)+28*y(2)-y(3);8/289/28例7.4抛射曲线实验假设阻力与速度成正比，在微分方程中增加阻力项xt()kxt()x(0)0,xv(0)cos0yt()gkyt()y(0)0,yv(0)sin0符号计算方法symstvgalfakx=dsolve('D2x=-k*Dx','x(0)=0','Dx(0)=v*cos(alfa)');y=dsolve('D

7、2y=-g-k*Dy','y(0)=0','Dy(0)=v*sin(alfa)');pretty([x;y])+--+

8、vcos(alfa)vcos(alfa)

9、

10、-----------------------

11、

12、kkexp(kt)

13、

14、

15、

16、g+kvsin(alfa)-gktg+kvsin(alfa)

17、

18、-------------------------------------------

19、

20、22

21、

22、kkexp(kt)

23、10/28+--+嫦娥一号轨道卫星进入初始轨道时,最大速度大约为10.3(km/s),而奔月速度需要10

24、.9(km/s)11/28yoxr(x,y)12/28假设五个轨道上最大速度从10.3(公里/秒)逐步增加到10.9(公里/秒)10.3，10.45，10.6，10.75，10.9根据牛顿万有引力定律，地球对卫星的引力大小为MmxyFG[,]222222xyxyxy卫星运动方程GMxGMyxy